平面向量数量积习题课

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破平面向量数量积习题课主讲人：马亮珍教学目标1．本节课的重点是复习向量数量积的定义、几何意义、性质、运算律以及坐标表示．2．重点是掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算(2)向量的模的计算(3)向量的夹角及垂直问题1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫作向量a和b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为__.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝______＝_____；(3)分配律：a·(b＋c)＝________.|a||b|cosθ0|b|cosθλ(a·b)a·b＋a·ca·(λb)一、知识梳理3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝_______数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥ba·b＝0_____________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22x21＋y21x1x2＋y1y2＝0二、例题讲练(一)、平面向量数量积的运算例1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.练一练1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：例2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．练一练．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.答案：(1)5（二）、平面向量模的运算例3．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________．(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________．[尝试解答](1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝12＋9×12＝10.(2)因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．答案：(1)10(2)2练一练1．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为π3，则|a|＝________；(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________．解析：(1)由于c＝12a－b，所以c2＝14|a|2＋|b|2－2×12|a||b|×12，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝10.答案：(1)2(2)10(三)、平面向量垂直与夹角的运算例4已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4.练一练若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.]例5．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[尝试解答](1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m、n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m、n的夹角为3π4.练一练1．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°.(2)a与b的夹角为锐角．2．若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．解：(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝12＋22＝5，|b|＝1＋λ2，a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a⊥b，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ0，且cosθ≠1，所以a·b0且a与b不同向．因此1＋2λ0，所以λ－12.又a与b共线且同向时，λ＝2.所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c0，即(2k－3，－6)·(2,1)0，∴4k－6－60，∴k3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－92.当k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为－∞，－92∪－92，3.]