可分离变量微分方程的解法及其应用

主讲人李海燕池州学院数学与计算机学院一、故事梗概直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。范.梅格伦（VanMeegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。二、思路2原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出，物质的放射性（衰变率）正比于现存物质的原子数。1分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放射性，其应用已有2000余年，白铅的成分中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放射性铅（Pb210）。我们看下元素衰变示意图。矿石中元素衰变示意图：铀238镭226铅210钋210铅206T=45亿年T=1600年T=22年T=138天白铅3建立微分方程：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t),y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则：00)(ytyrydtdy三、解决问题经验：矿石中铀的最大含量可能2-3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放射性物质含量比较，来判别画的真伪。建模：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。)(0)(001)(tttteyerty则:衰变率：1)()()(000tttteretyy其中,y(t),r均容易测出。00)(ytyrydtdy画名钋210衰变原子数（每克每分钟）镭226衰变原子数（每克每分钟）Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.03000tt222ln111503002e]1[)()()(000tttteretyy]1[)(300300erety]12[8.025.81115011150假设：第一幅画是真品，则铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。min/30000min/98050个个同理可判别其他画的真伪。结论：思考：古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前?Thankyouforyourattention！