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当前位置:首页 > 行业资料 > 其它行业文档 > 2012届高考数学二轮复习课件:专题9 分类讨论 数学思想方法
•能根据所给研究对象按某个标准分类来解决不定问题,掌握常见的分类讨论的方法与思想并应用.•分类讨论思想是历年高考的必考内容,它不仅是高考的重点与热点,而且是高考的难点.每年在中档题或高档题中甚至在低档题中都设置分类讨论问题,通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力.•2012年的高考中仍会继续考查,其重点为含参数的函数性质问题,与等比数列的前n项和有关的计算推证问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题.•1.分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题,通过对基础性问题的解答,解决原问题的思维策略.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略,分类讨论可以优化解题思路,降低问题难度.分类的原则是:(1)分类的对象确定,标准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层次,不越级讨论.•回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点,大致有:绝对值概念的定义;根式的性质;一元二次方程根的判别式与根的情况;二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向;反比例函数y=k/x(x≠0)的反比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数k,一次函数y=kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系;幂函数y=xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系;指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a1及a1对函数单调性的影响;等比数列前n项和公式中q=1或q≠1的区别;•复数概念的分类;复数概念的分类;不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响;排列组合中的分类计数原理;圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系;直线与圆锥曲线位置关系的讨论;运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在;曲线系方程中的参数与曲线类型;角终边所在的象限与三角函数的符号等.•2.分类讨论包含下列几类:•(1)涉及的数学概念是分类定义的;•(2)由数学公式或数学法则的限制条件等运算的需要引发的;•(3)数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的;•(4)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的.•[例1]已知函数f(x)=log(m+2)[mx2+(m+2)x+m+2]存在最小值,试求实数m的取值范围.•[分析]由于函数f(x)是由函数y=log(m+2)g(x)和函数g(x)=mx2+(m+2)x+m+2复合而成的,所以应对底数m+2的取值以及g(x)的最值情况分别进行讨论.[解析](1)当m+21即m-1时,函数y=log(m+2)x是增函数,因此要使函数f(x)有最小值,需满足m+21m0Δ=m+22-4mm+20,解得m-1m0m23或m-2,即m23;(2)当0m+21即-2m-1时,函数y=log(m+2)x是减函数,因此要使函数f(x)有最小值,需满足0m+21m0Δ=m+22-4mm+20解得-2m-1m0-2m23,即-2m-1.综上,要使函数f(x)有最小值,实数m的取值范围是-2m-1或m23.[评析]这道题是由对数函数的概念和二次函数的最值引发的分类讨论,我们称为概念分类型,由概念引发的分类还有很多,如绝对值:|a|的定义分a0、a=0、a0三种情况;直线的斜率:倾斜角θ≠90°,斜率k存在,倾斜角θ=90°,斜率k不存在;对数、指数函数:y=logax与y=ax可分为a1、0a1两种类型;直线的截距式:直线过原点时为y=kx,不过原点时为xa+yb=1等.•(2011·安徽合肥质检)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1.动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ,求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?•[解析]如图,设MN切圆C于N,•则动点M满足集合P={M||MN|=λ|MQ|,λ0},•∵ON⊥MN,|ON|=1,•∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,•设动点M的坐标为(x,y),x2+y2-1=λx-22+y2,整理得:(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0,经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故上述方程是所求的方程,(1)当λ=1时,方程化为x=54,∴动点M的轨迹是垂直于x轴且与x轴交于点(54,0)的直线.(2)当λ≠1时,方程变为(x-2λ2λ2-1)2+y2=1+3λ2λ2-12,∴动点M的轨迹是以点(2λ2λ2-1,0)为圆心,1+3λ2|λ2-1|为半径的圆.[例2]若双曲线x22m-y2m-4=1的一条渐近线与直线2x-2y-3=0垂直,则双曲线的离心率等于________.[分析]由渐近线的斜率可以求出离心率的大小,但必须对双曲线的焦点所在的坐标轴进行讨论.[答案]62或3[解析]因为方程表示双曲线,所以2m(m-4)0,解得m0或m4.因为渐近线与直线2x-2y-3=0垂直,所以渐近线的斜率为-22.当m4时,方程化为x22m-y2m-4=1,表示焦点在x轴上的双曲线,所以ba=22,c2-a2a2=12,e2=32,解得e=62;当m0时,方程化为y24-m-x2-2m=1,表示焦点在y轴上的双曲线,所以ab=22,即ba=2,c2-a2a2=2,e2=3,解得e=3.[评析]本题的分类讨论是由于对ca的运算需要引起的,对双曲线焦点所在的轴进行分类,从而得到ba的不同值,然后求出e的大小.分类讨论的许多问题都是由运算的需要引发的,如二次不等式运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,对导数正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.•已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8,求直线l的方程.•[解析]圆的方程可化为:x2+(y+2)2=25,•(1)若直线l方程为x=-3,可求得弦长为8,(2)若直线l的斜率存在时,设l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0,圆心(0,-2)到圆心l的距离d=|3k-1|k2+1,由已知条件d2=25-16=9,即(3k-1)2=9(k2+1),整理得9k2-6k+1=9k2+9,解得k=-43.因此所求直线的方程为x+3=0或4x+3y+21=0.•[例3]已知m∈R,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区间[0,1]上的最大值.•[分析]①当4-3m=0时,按一次函数在给定区间上的最值问题求解.•②当4-3m0时,二次函数f(x)的图象开口向上,只需讨论二次函数图象的对称轴与区间中点的相对位置求最大值.•③当4-3m0时,二次函数f(x)的图象开口向下,需讨论二次函数图象的对称轴与区间中点的相对位置求最大值.•(注意总结,归纳②③两种思维方式的出发点.)[解析](1)当4-3m=0,即m=43时,函数y=-2x+43,它在[0,1]上是减函数.所以ymax=f(0)=43.(2)当4-3m≠0,即m≠43时,y是二次函数.①若4-3m0,即m43时,二次函数y的图象开口向上,对称轴x=14-3m0,它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值,故不需讨论区间与对称轴的关系).f(0)=m,f(1)=2-2m.当m≥2-2m,又m43,即23≤m43时,ymax=m.当m2-2m,又m43,即m23时,ymax=2(1-m).②若4-3m0,即m43时,二次函数y的图象开口向下,又它的对称轴方程x=14-3m0,所以函数y在[0,1]上是减函数,于是ymax=f(0)=m.由(1)、(2)可知,这个函数的最大值为ymax=2-2m,m23,m,m≥23.•(2011·临沂模拟)在△ABC中,设=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.[解析]因为△ABC是直角三角形,所以当∠A=90°,则AB→⊥AC→,于是2×1+3×k=0,得k=-23.当∠B=90°,则AB→⊥BC→,又BC→=AC→-AB→=(-1,k-3),故2×(-1)+3(k-3)=0得k=113.当∠C=90°时,则AC→⊥BC→.故1×(-1)+k(k-3)=0得k=3±132.综上所求k的值为-23或113或3±132.[例4](2011·珠海模拟)已知f(x)=x3x+1,数列{an}满足a1=13,an+1=f(an)(n∈N*),(1)求证:数列1an是等差数列;(2)记Sn(x)=xa1+x2a2+…+xnan(x0),求Sn(x).•[分析](1)找出an与an+1关系;•(2)用错位相减法求和.[解析](1)由已知得an+1=an3an+1,∴1an+1=3an+1an=3+1an.∴1an+1-1an=3.∴1an是首项为3,公差为3的等差数列.(2)由(1)得1an=3+3(n-1)=3n,∴Sn(x)=3x+6x2+9x3+…+3nxn.x=1时,Sn(1)=3+6+9+…+3n=3n+1n2;x≠1时,Sn(x)=3x+6x2+9x3+…+3nxn,xSn(x)=3x2+6x3+…+3(n-1)xn+3nxn+1,(1-x)Sn(x)=3x+3x2+…+3xn-3nxn+1,Sn(x)=3x-3n+1xn+1+3nxn+21-x2.综上,当x=1时,Sn(1)=32n(n+1),当x≠1时,Sn(x)=3x-3n+1xn+1+3nxn+21-x2.•[评析]一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,这时要小心,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.•已知在等比数列{an}中,a1=1,Sn是其前n项和,且ak+1,ak+3,ak+2(k∈N)成等差数列.•(1)求数列{an}的公比;•(2)试判断Sk+1,Sk+3,Sk+2(k∈N)是否也构成等差数列,并说明理由.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则ak+1=qk,ak+3=qk+2,ak+2=qk+1,依题意得2qk+2=qk+qk+1,由于qk≠0,所以2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.(2)当q=1时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+3=k+3,Sk+2=k+2,显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+3≠2Sk+3,故Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;当q=-12时,Sk+1=1--12k+11--12=231--12k+1,同理可得Sk+2=231--12k+2,Sk+3=231--12k+3,于是Sk+1+Sk+2=231--12k+1+231--12k+2=232--12k+1--12k+2=431--12k+3=2Sk+3,所以Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列.综上所述:当q=1时,Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;当q=-12时,Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列.
本文标题:2012届高考数学二轮复习课件:专题9 分类讨论 数学思想方法
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