2012届高考数学总复习(第1轮)课件：三角函数的性质

第四章三角函数第讲考点搜索●正弦、余弦、正切、余切函数的性质●利用单位圆、三角函数的图象及数轴求三角函数的定义域●求三角函数值域的常用方法●三角函数的周期性●三角函数的奇偶性●三角函数的单调性高考猜想三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性是重点考查内容，尤其是求三角函数的周期，求单调区间及比较大小等类型的题目在高考试题中出现的频率较高，几乎是必考内容之一.题型以选择、填空题居多，试题一般比较容易.三角函数的图象、性质解析式y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域__________________________RR{|,}2xxkkZ解析式y=sinxy=cosxy=tanx值域__________________________最值x=______(k∈Z)时,ymax=1x=_______(k∈Z)时,ymin=-1x=_____(k∈Z)时,ymax=1x=_________(k∈Z)时,ymin=-1无周期性周期性2π2ππ[-1,1][-1,1]R22k22k2kπ(2k+1)π解析式y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(k∈Z)上是增函数;在(k∈Z)上是减函数在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数在_______(k∈Z)上是增函数[2-,2]22kk3[2,2]22kk[2-,2]kk[2,2]kk(-,)22kk1.若函数则f(x)的最大值为()因为所以，当时，函数f(x)取得最大值2.故选B.B()(13tan)cos,0,2fxxxxA.1B.2C.3+1D.3+2()(13tan)coscos3sin2cos(-),3fxxxxxx3x2.函数y=2cos2(x-)-1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数因为y=2cos2(x-)-1=cos(2x-)=sin2x为奇函数，且T=,所以选A.A422242=23.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点间的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()5A.[-,],1212511B.[,],1212C.[-,],362D.[,],63kkkZkkkZkkkZkkkZ3f(x)=2sin(ωx+).由题设知f(x)的周期为T=π，所以ω=2.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z，故选C.6262631.求下列函数的值域.题型1：三角函数的定义域与值域sin2sin(1)();1-cos(2)()2cos()2cos.3xxfxxfxxx(1)因为-1≤cosx＜1,故函数f(x)的值域为［-,4).2222sincossin2cos(1-cos)()1-cos1-cos112cos2cos2(cos)-.22xxxxxfxxxxxx12因为所以函数f(x)的值域为(2)()2cos()2cos32coscos-2sinsin2cos333cos-3sin3123(cos-sin)23cos().226fxxxxxxxxxxx|cos()|1,6x[-23,23].【点评】：求三角函数的值域，一般是先化简或变形，然后利用正、余弦函数的有界性确定整个函数的值域.注意化简过程中不要忽略定义域.若涉及求三角函数的定义域，注意周期及相应区间的表示.求下列函数的值域cos(1);2cos11sin(2).3cosxyxxyx(1)由可得所以cos,2cos1xyx1(1-2)cos(),2yxyycos.1-2yxy因为|cosx|≤1，所以cos2x≤1.即即3y2-4y+1≥0，所以y≤或y≥1.故的值域为(-∞，］∪［1，+∞).221,(1-2)yy13cos2cos1xyx13(2)由得sinx-ycosx=3y-1.所以这里因为|sin(x+φ)|≤1，所以解得0≤y≤.故函数的值域为［0,］.1sin,3cosxyx21sin()3-1.yxy221-cos,sin.11yyy2|3-1|1,yy341sin3cosxyx342.(原创)已知函数(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则a的最小值是多少？题型2：三角函数的周期性与奇偶性2()2cossin1.2xfxx(1)因为f(x)=1+cosx+sinx+1所以f(x)的最小正周期是.2sin()2,4x2(2)因为所以向右平移a个单位长度后得到的图象的解析式为()2sin()2,4fxx()2sin(-)2,4gxxa由此时图象关于y轴对称，可得即有故当k=0时，a取最小值，为.-(),42akkZ3(),4akkZ34【点评】：三角函数的周期与x的系数有关，若是高次型或绝对值型，一是注意转化与化简，二是结合图象考虑周期是否减半.奇偶性的判断主要是看原点是否为对称中心(或y轴是否为对称轴)，或原点对应的正、余弦函数值是否为零(或取最值).已知函数是否存在θ∈(0，)，使f(x-θ)为偶函数？若存在，求出θ的值；若不存在，说明理由.()2sin(2),6fxx2其图象的对称轴满足得又f(x-θ)x=0，故又故取k=-1，得.(-)2sin(2-2),6fxx2-2(),62xkkZ1().26xkkZ10().26kkZ(0,),233.求下列函数的单调区间：题型3：三角函数的单调性12(1)()sin(-),243(2)()-|sin()|.4xfxfxx分析：(1)要将原函数化为再求之,(2)可画出的图象.12()-sin(-)234fxx()-|sin()|4fxx(1)1212()sin(-)-sin(-).243234xxfx故由得为f(x)的单调递减区间；由得为f(x)的单调递增区间.22--2(),2342xkkkZ393-3(),88kxkkZ232-2(),2342xkkkZ921[3,3]().88kkkZ所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为92133(),88kxkkZ39[3-,3](),88kkkZ(2)的单调递增区间为单调递减区间为()-|sin()|4fxx3[,](),44kkkZ[-,]().44kkkZ【点评】：讨论函数f(x)=Asin(ωx+φ)型的单调性，首先注意是否ω＞0，然后根据A的符号解不等式：2kπ-＜ωx+φ＜2kπ+或2kπ+＜ωx+φ＜2kπ+.如果是复合函数，则可根据复合函数的单调性判断原则先转化，然后解相应的不等式.22232比较下列各组值的大小：(1)(1)因为1sincos5;5与11sincos()525，cos5cos(25)，而与2π-5均为锐角，125且从而又y=cosx在内是减函数，所以即1154825()02510＜，125.25＞π(0)2，1cos()cos(25)25＜，1sincos5.5＜(2)与(2)因为且y=sinx在内单调递增，所以又所以2119sintan58、42sin.521sinsin55422sinsin55，，20552＜＜＜，()02，2142sinsin.55＜193tantantan1884＞，214219sinsintan.558＜＜求函数(0＜x＜π)的值域.令sinx-cosx=t，则所以又x∈(0，π)，则所以参考题sincossincos1xxyxx21sincos2txx，.ttyt2112122sin()(124tx，］，121).2y［，1.求三角函数的定义域，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性.如tanx有意义时，x≠kπ+，k∈Z.22.求三角函数的值域的常用方法：①化为y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)，利用二次函数法(注意sinx的范围);②化为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)).3.求三角函数的最小正周期是高考中的一个热点.解决这类问题的办法是化标准型，即通常将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期公式来求解.4.判断函数的奇偶性，应先判断其定义域是否关于原点对称，这是判断函数奇偶性的重要条件之一，必须首先考虑.一般情况下，需先对函数式进行等价变形(化简)，再判断奇偶性.