【2014中考复习方案】(苏科版)中考数学复习权威课件：43-点运动型问题

第43课时点运动型问题探究一、动点二次函数综合型问题考向互动探究第43课时┃考向互动探究例1．[2013•广安]如图43－1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．(1)求此抛物线的关系式；图43－1考向互动探究第43课时┃考向互动探究(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A、B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D.①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标(结果保留根号)．考向互动探究第43课时┃考向互动探究例题分层分析(1)已知三点，如何求二次函数的关系式？(2)P点的位置在哪儿，你能完成第(2)问中的作图吗？(3)观察图中△AOB，△PED，它们是等腰直角三角形吗？说明理由．(4)△PDE的周长最大时PE长是否最大？(5)如何得出PE关于x的函数关系？讨论函数的最值．(6)关注正方形APMN，当顶点M或N在抛物线对称轴上时如何作图？(7)为求P点坐标，如何做？作x轴或y轴的垂线试试．考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析(1)由题意得9a－3b＋c＝0，c＝3，a＋b＋c＝0，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，∴y＝－x2－2x＋3.(2)①∵A(－3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB，∴∠BAO＝45°.又∵PF⊥AO，∴∠AEF＝45°，∴∠PED＝45°，∴PD＝DE.设F点的横坐标为x，则PF＝－x2－2x＋3，FE＝AF＝x＋3，∴PE＝PF－FE＝－x2－3x＝－x＋322＋94，当x＝－1.5时，PE最长为94，此时△PDE的周长最大，为94＋942，而点P的坐标为－32，154.考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析②当M在对称轴上时，过P作PH⊥对称轴，垂足为H，则△APF≌△MPH，∴PF＝PH.设F的横坐标为x，则点P的坐标为(x，－x－1)，代入y＝－x2－2x＋3，得－x－1＝－x2－2x＋3，解得x1＝－1－172，x2＝－1＋172(舍去)，∴P－1－172，17－12.考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析当点N在对称轴上时，如图，设对称轴与x轴的交点为K，则△APF≌△NAK，∴PF＝AK＝2，∴－x2－2x＋3＝2，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(舍去)，∴P(－1－2，2)．综上可知P点坐标为－1－172，17－12，(－1－2，2)．考向互动探究第43课时┃考向互动探究解题方法点析此类二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．考向互动探究探究二、点运动型问题第43课时┃考向互动探究例2、[2013·黄冈]如图43－2，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t(秒)．图43－2考向互动探究第43课时┃考向互动探究(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式；(2)当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；(3)以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；(4)经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值(或范围)，若不能，请说明理由．考向互动探究第43课时┃考向互动探究例题分层分析(1)已知三点，如何求二次函数的关系式？(2)画出点Q在CO边上，根据已知得出△OPQ的高，求面积．(3)根据题意得出0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°；当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形．(4)能求出抛物线的对称轴以及直线OB的关系式和PM的关系式吗？观察关系式的特征和自变量的取值范围．考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析(1)设所求抛物线关系式为y＝ax2＋bx＋c，把A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)三点坐标代入得36a＋6b＋c＝0，9a＋3b＋c＝3，a＋b＋c＝3，解得a＝－315，b＝4315，c＝435.即所求抛物线的关系式为y＝－315x2＋4315x＋435.考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析(2)依题意，可知OC＝CB＝2，∠COA＝60°，∴当动点Q运动到OC边时，OQ＝4－t，∴△OPQ的高为：OQ·sin60°＝(4－t)×32.又OP＝2t，∴S＝12×2t×(4－t)×32＝－32(t2－4t)(2≤t≤3)．考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析(3)依题意，可知0≤t≤3.当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP＝2t，OQ＝3＋（3－t）2，PQ＝3＋[2t－（3－t）]2＝3＋（3t－3）2.∵∠POQ＜∠POC＝60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°.若∠OPQ＝90°，则OP2＋PQ2＝OQ2，即4t2＋3＋(3t－3)2＝3＋(3－t)2，解得t＝1或t＝0(舍去)；若∠OQP＝90°，则OQ2＋PQ2＝OP2，即6＋(3－t)2＋(3t－3)2＝4t2，解得t＝2；当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时OP＝2t＞4，∠POQ＝∠COP＝60°，OQ＜OC＝2，∴△OPQ不可能为直角三角形．综上所述，当t＝1或t＝2时，△OPQ为直角三角形．考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析(4)由(1)可知：抛物线y＝－315x2＋4315x＋435＝－315(x－2)2＋16153，其对称轴为x＝2.又OB的方程为y＝33x，∴抛物线的对称轴与OB的交点为M2，233.又P(2t，0)，设过P、M的直线的关系式为y＝kx＋b，∴233＝2k＋b，2kt＋b＝0，解得k＝33（1－t），b＝－23t3（1－t），考向互动探究第43课时┃考向互动探究解析即直线PM的关系式为y＝33（1－t）x－23t3（1－t），即3(1－t)y＝x－2t.又0≤t≤2时，Q(3－t，3)，代入上式，得3(1－t)×3＝3－t－2t恒成立，即0≤t≤2时，P、M、Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；当2＜t≤3时，OQ＝4－t，∠QOP＝60°，∴Q4－t2，3（4－t）2，代入上式，得3（4－t）2×3(1－t)＝4－t2－2t，解得t＝2或t＝43，均不合题意，应舍去．∴综上所述可知，过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2.考向互动探究第43课时┃考向互动探究解题方法点析此类动点问题涉及二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数关系式和待定系数法求一次函数关系式等知识，利用分类讨论思想得出t的值是解题关键．考向互动探究