数学辅导--多元函数微分学

多元函数微分学2011数学竞赛辅导第八讲一、二元函数的极限与连续性二、偏导数与高阶偏导数全微分；复合函数的偏导数；隐函数求导；方向导数和梯度三、应用（极值、切线、切平面）一、二元函数的极限与连续性1.求二重极限•夹挤准则、利用一元函数求极限的方法练习求)(22),(),()(limyxyxeyxyxxayxx2)11(lim),(),(=0=e21)cos(1lim22)0,0(),(yxxyyx2.(江苏2000竞赛))()sin(lim)0,0(),(yxyxyxA.等于1；B.等于0；C.等于-1；D.不存在D22),(),(limyxyxyxyx03的某邻域内有定义，且在点设),(),(00yxyxfz)()()(),(),(0000oyybxxayxfyxfz求其中.)()(2020yyxx.),(),(lim00000xyxxfyxxfxa2答案：且的某邻域内有定义在点已知函数,)0,0(),(yxf.)0,0(),(,1),(lim22)0,0(),(）（处在则yxfyxyxfyx4.0)0,0(fA.极限存在但不连续B.连续但偏导数不存在C.偏导存在但不可微D.可微D练习.)()0,0(),(是处可微的一个充分条件在点函数yxf（09数二）;0)0,0(),(lim.)0,0(),(fyxfAyx0)0,0(),0(lim0)0,0()0,(lim.)0,0(),()0,0(),(yfyfxfxfByxyx且;0)0,0(),(lim.22)0,0(),(yxfyxfCyx0)0,0(),0(lim0)0,0()0,(lim.00yyyxxxfyffxfD且C练习.(江苏06竞赛).|),(d,)0,0(),((0,0))(0,(0,0))(),tan(),()0,0(2222yxfyxfx,yx,yyxyxyxyxf并求处可微在点证明设5.(江苏02竞赛).,)0,0(),((0,0))(0,(0,0))(,1arctan),(22可导性与可微性的连续性在点试讨论设yxfx,yx,yyxyyxfyxdd二、偏导数与高阶偏导数6.).0,1(),1,1(,)(),(yxxyffyxyxf求设.0)0,1(,2ln21)1,1(yxff练习：).1,(,arcsin)1(),(xfyxyxyxfx求设1答案：,0),(,0),(yyxfxyxf设在全平面上有则在下列C（一）多元函数的一阶偏导数与全微分7..),(),(2211）（的是yxfyxfA.B.2121,yyxx2121,yyxxC.D.2121,yyxx2121,yyxx条件中能保证8.(江苏06竞赛))()0,(d),,(ezyxzzzexzy则可确定已知由yxed21d219.____d,17,6),(34,43PPPfvfufPyxfjivjiu则处有在点且二元可微函数设向量yxd15d10练习：).1,1,1(d,),,(1fyxzyxfz求设yxdd练习.)(,)(dd)(2ayxyyxayx则为某函数的全微分已知.2.;1.;0.;1.DCBAD（二）复合函数的偏导数或全导数及高阶偏导数“分线相加，连线相乘”，“分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意.,,),(的函数求完偏导后仍然是对vuvuvuf10.(07数一).___________),,(),(xzyxfzyxfxy则可微，设211lnfyyfyxxy11.，可微，设)0,0(,)0,0(,0)0,0(),(nfmffyxfyx.)0()),,(,()(求ttftft)(nmnm练习1（01数四）_____,,0)2(2xzxzyyxfezx则时且当)2(22yxeexxy关键:求f(x),sin,0),,(),,,(2xyzexzyxfuy设.dd,0,,xuzf求且都具有一阶连续偏导数其中)cos2(1cosdd213xexfxffxuyzyx练习212..),,()2(,),()(2yxzxyxgyxfzvugtf求二阶连续可导二阶可导，设222122ggxygxf练习.,,,,)],(,)([222yzyxzhfyxhyxfz求均为二阶可微函数偏导数具有二阶连续其中已知22212112)()()()]()()([)(fyhfyhyxhfyhxyhxfxyxz2222121122)()()(2fyhxfyhxfyhxfyz13(98数一).06,222222yzyxzxzayxvyxu可把方程设变换.,02avuz求常数化简为3a练习：.0),(2222yukxukyuxuyxuu满足方程已知.,,数项消去新方程中一阶偏导把方程变形，通过变换试选择参数byaxuezba2,2kbka通常把引入的新坐标视为中间变量或因变量.14.证明存在具有连续偏导设,),(yxfz的使得可微函数)0)((),(),(abbyaxgyxfug.),(yzaxzbyxfz满足充要条件是.0),(.vzu,vzzyvbyaxu证则令15.有证明对任意正数具有连续偏导设tyxf,),(欧拉方程满足的充要条件是),(),(),(yxfyxfttytxfk).,(yxkfyfyxfx16.____,sin,0;sin,0,02zxzyyzxyxz则时时若xyzsinsin).,(),0(,)0,(22yxzzyyzxxzyxyxz的解满足条件求方程2222xyyxyxz练习：17.).0()()(),(,),(2uyuxuyxuuygxfyxuyxu的充要条件是证明具有二阶连续偏导设•偏导数的反问题-----已知偏导数，求函数.思考：什么函数的导数会出现?2yuxuyxuu及18.(江苏08竞赛)._______,)1,2(nnyzyxxz则设!2n._______,2)1,2(22nnyzyxxz则设练习：13)1(1!nnn（三）隐函数求导•由一个方程所确定的隐函数19.存在由隐函数存在定理设,1lnxzeyzxy）在此邻域内该方程（的一个邻域点,)1,1,0(A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数);,(yxzz);,(),,(yxzzzyxx);,(),,(yxzzzxyy).,(),(zxyyzyxxD•由方程组所确定的隐函数.dd,cos,tan,,,),(022txztztytxetyxezyxyxzz求满足的函数均为而确定由设81320.21..dd,,0),,(),,(xyyxtyxFttxfy求的函数所确定的是由方程而设ytxtFfFFfFf221练习(99数一)..dd,,0),,()()(),(xzFfzyxFyxxfzxzzxyy求导数连续导数和一阶连续偏分别具有一阶和其中所确定的函数和是由方程设)0(,)(ddzyzyxyFfxFFfxFFfxFfxfxz22..tan,cossinvxyvueyvuexuu求证设（四）方向导数和梯度•定义求方向导数，公式求方向导数时要求函数可微.•公式求函数的梯度.•23.____M2)1,1,1(22222MnunyxzMzyxu的方向导数处的外法线方向在点处沿曲面在点函数31的方向导数为弧度方向上处在点函数4)1,1(222Pyxz23练习1练习2.22222的梯度方向的方向导数沿求yzxzyxu22222zyxyzx三、多元函数微分学的应用•曲线在某点处的切线与法平面(关键：点、切向量)•曲面在某点处的切平面与法线(关键：点、法向量)24..)1,5,1(0402处的切线和法平面上点求曲线yxzx082;211511zyxzyx法平面：切线：25.）平行的切线（的所有切线中与平面在曲线42,,32zyxtztytxA.只有一条B.只有两条C.至少三条D.不存在B26(03数一).________04222平行的切平面方程是与平面曲面zyxyxz.0)5()2(4)1(2zyx27..__________)2,2,1(2132222法线方程为的在点曲面zyx624211zyx练习1：满足对任意若可微函数tyxyxf,,),(.________P,4)2,1(),((1,-2,2).P),(),(002处的切平面方程为则曲面在且上一点，是曲面xfyxfzyxfttytxf024zx思路：关键求)2,1(yf.431221)1,2,5(,422平行且与直线经过点使曲面在这点的切平面上求点在曲面zyxyxz)13,1,3()5,1,1(或练习3..)1,1,1(74253,22522222的切线在点：使之过的切平面求Mzyxzyxzyx531zyxzyx或练习2.•极值与条件极值•利用极值定义•利用极值的充分和必要条件.c•Lagrange乘数法D28的某邻域内连续，在点已知函数)0,0(),(yxf）则（,1)cos(1),(lim)0,0(),(yxyxfyx;),((0,0)A.的驻点不是yxf;(0,0)B.是驻点但不是极值点;(0,0)C.是驻点且是极小值点;(0,0)D.是驻点且是极大值点练习1（03数一）的某邻域内连续，在点已知函数)0,0(),(yxf）则（,1)(),(lim222)0,0(),(yxxyyxfyx;),((0,0)A.的极值点不是yxf;(0,0)B.是极小值点;(0,0)C.是极大值点.(0,0)D.无法判别是否极值点A练习2(09数二)))(0,0(,ddd),(则点的全微分为设函数yyxxzyxfz.),(.),(.),(.),(.的极小值点是的极大值点；是的极值点；不是的连续点；不是yxfDyxfCyxfByxfAD提示：用极值的充分条件.2900M22M22000,,),(M),(yfxfyxyxf且处取极大值在点设)(,则存在;0,0.00M22M22yfxfA;0,0.00M22M22yfxfB;0,0.00M22M22yfxfC;0,0.00M22M22yfxfDB30.??),(,,2243),(22唯一的极小值有唯一的极大值满足什么条件时试问设yxfbabxyayaxyxyxf练习1.1),(222)()(212的极值点求函数byaxyeyyxf.)2,(),,(为极大值点baba注：通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。B练习2.)(,00,D),(22222则及且满足上具有二阶连续偏导数在平面有界闭区域设yuxuyxuyxuA.最大最小值点都在D的内部;B.最大最小值点都在D的边界上;C.最大值点在D的内