3-1群同态与同构

2020/4/2312:20近世代数第三章正规子群和群的同态与同构§1群同态、同构2020/4/2312:20一、定义1GGGG若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；GGGG若存在群到群的同构映射，则称群与群同构.AAsA假定是集合到的一个满射，(){()|}ssaas，称为s在之下的象；sA，称1(){|(),}ssaaaas为s在之下的逆象.为2020/4/2312:20GGHG()HH群与同态，是到的同态满射，则GG(1)11(),()().eeaa(2)(3)HG1()HHGG定理1(4)是循环群，则GG也是循环群.二、群同态性质2020/4/2312:20定理2两个代数系统同态，GG与若G是群，则G也是群.证明：~GG，G是群，有结合律，则G也有结合律；()()()(),eaeaa是同态满射，有,,.()aGaGstaa()ee是G的左单位元；11()()()(),aaaaee1()a()aa是的左逆元G也是群.2020/4/2312:20注：在本定理中同态映射必须是满射.例1设G是正有理数乘群，G是全体正偶数对ab＝2作成的半群.则显然φ：x→2是G到G的一个同态映射.G是群但是G不是群.2020/4/2312:20例2证明{0,1,2,3}G()mod4abab关于做成群.(,)GZ证明：取:mod4,()xxxZ是G到G的同态满射，~GGG而是群，因此G是群.2020/4/2312:20例3G:是GG到的同态满射，~.GG{全体正负奇数}，{1,1}G代数运算均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1G是群，而G不是群.2020/4/2312:20定理3.H)H(G,)H(,GH2)(H);~H,G(H),GH1)),(GG1-1-的一个同态映射到出之下诱导且在有时当且有时当则是满射不一定的一个同态映射是群是群设2020/4/2312:20定理3.G(H),H(H).~H,G(H)(H),ba,baabH,abG,HH.ba,,bb,aa(H),b,a1):的子群也是群且是从而是子群但且的乘法封闭对即从而且故由于其中之下令且在任取证2020/4/2312:20定理3.H)H(G,)H().H(ab,Hba,GH,Hb,a,baab.bb,aa),H(ba,,)H(,GH)21-1-1-1-1-1-1-1--1的一个同态映射到诱导且显然即从而故而其中则之下令且在任取显然非空由于时当2020/4/2312:20定理4e.eG,GG的逆象只有的单位元群必要条件是是单射的充分与的同态映射到群.,.b,a,eab,ebaab,ba:ba,ba,bb,aae.e,GG.,:1-1-1-是单射因此矛盾故则由于因必时当之下又设在的逆象只有之下且在的任一同态映射到群是群设下证充分性必要性显然证2020/4/2312:20例4.SG:.G63证明不是循环群阶群设.32G,.6G,G:阶元或阶元必有定理知从而由阶元没有故不是循环群因为证Lagrange2020/4/2312:20有子群可知阶元中任取则在然若不阶元中元素不能都是外又除定理矛盾这与则易知阶元中任取互异的在于是为交换群题知第则有习题若不然阶元中元素不能都是外除G,b,a3G,:3Ge.G.ab},b,a{e,H,ba,2G.G,61.2,:2GeLagrange2020/4/2312:20.SG,SG(13)ab(132),b(23),ab(123)b(12),a(1),e:},ab,ab,b,b,a,e{G:.b3a2G,.6G,9NKNKKN}.e{NK).Kb}(,,{},,,{33222222故的一个同构映射到对称群是群且易知由此可知阶元和阶元必有因此矛盾这与于是且其中bbeNaaeK2020/4/2312:20小结群同态的性质作业：5.6