江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学2017届高三下期初四校联考理科数学试卷

南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知全集,6}{1,2,3,4,5I，集合{1,3,5}A，{2,3,6}B，则(∁IA)B▲．2．复数21i+1的实部为▲．3．下图是一个算法流程图，则输出的n的值是▲．4．某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的人数为▲．5．若双曲线22221xyab的一条渐近线过点2,1，则双曲线的离心率为▲．6．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为▲．7．已知点P(yx，)满足14xxyyx，则xyz的最大值为▲．8．设正项等比数列{an}满足4352aaa．若存在两项an、am，使得mnaaa41，则nm的值为▲．9．在正方体1111ABCDABCD中，P为1AA中点，Q为1CC中点，AB=2，则三棱锥B-PQD的体积为▲．10．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＜0时，f(x)＝x2－2x＋1．不等式2(3)(2)fxfx的解集用区间表示为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，设直线0(0)xymm与圆228xy交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为▲．12．已知P是曲线xxyln21412上的动点，Q是直线143xy上的动点，则PQ的最小值为▲．13．矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则PDPB=▲．14．在△ABC中，若tantan3tantanAABC，则sinA的最大值为▲．（第4题图）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知1cos2cossin32)(2xxxxf．（1）求()fx的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且,2,1ba2)(Af,求角C．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABCABC中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱1CC的中点．（1）求证：CD∥平面1ABE；（2）求证：1AB平面1ABE．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C：)0(12222babyax过点)1,0(和)22,1(，圆O：222byx．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为46时，求直线l的方程．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l和2l，在点O处交汇；该商业区为圆心角3、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与12ll、分别交于AB、,要求AB与扇形弧相切，切点T不在12ll、上．（1）设km,km,OAaOBb试用,ab表示新建公路AB的长度，求出,ab满足的关系式，并写出,ab的范围；（2）设AOT,试用表示新建公路AB的长度，并且确定AB、的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（本小题满分16分）设0a且1a，函数2()lnxfxaxxaa．（1）当a=e时，求函数()fx的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数()fx的最小值；（3）指出函数()fx的零点个数，并说明理由．l2l1BAO（第18题图）T20．（本小题满分16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{}na满足41a，82a，),2(48*1Nnnnaann，求证：数列{}na是“S型数列”；（2）已知等比数列{}na的首项与公比q均为正整数，且{}na为“S型数列”，记34nnba，当数列{}nb不是“S型数列”时，求数列{}na的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{cn}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足)12)(111(11)12)(111(11nnnncnncccnn？如果存在，给出数列{cn}的一个．．通项公式(不必证明)；如果不存在，请说明理由．数学II（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，ODAB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：OBPCQP.B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知ba,R，矩阵41baA，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝13，属于特征值5的一个特征向量为α2=11．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在极坐标系下，圆C：ρ＝2cos（θ＋π2）与直线l：ρsin（θ＋π4）＝2，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,xyz均为正数．求证：111yxzyzzxxyxyz≥++++．QPDCBAO22．（本小题满分10分）如图，已知长方体1111ABCDABCD，121ABAA，，直线BD与平面11AABB所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为11AB的中点.（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面11AABB所成二面角（锐角）的余弦值.23．（本小题满分10分）设集合},,3,2,1{nS（n≥5，n∈N*），集合},,{321aaaA满足321aaa且223aa，SA．（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．OEC1B1A1DCBA数学I参考答案1.{2,6}；2.2；3.6；4.660；5.52；6.25；7.3；8.6；9.34；10.(1,3)；11.2；12.52ln22；13.112；14.52115．（本小题满分14分）解答：（1）)62sin(22cos2sin31cos2cossin32)(2xxxxxxxf…………2分所以x∈{=+,}6xxkkZ时取得最大值2…………6分（2）因为2)(Afsin(2)=16A因为A为三角形内角，613626A所以262A6A…………8分又因为,2,1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,…………10分因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.(少一解扣2分)………14分16．（本小题满分14分）解：⑴设1AB和1AB的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为1AB的中点，D为AB的中点，所以1ODBB∥，且112ODBB又E是1CC中点，则1ECBB∥且112ECBB，所以ECOD∥且ECOD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EOCD∥．……………………4分又CD平面1ABE，EO平面1ABE，则CD∥平面1ABE…………………7分⑵因为正三棱柱，所以1BB平面ABC．因为CD平面ABC，所以1BBCD．由已知得ABBCAC，所以CDAB．所以CD平面11AABB由⑴可知EOCD∥，所以EO平面11AABB所以1EOAB．…………11分因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以11ABAB．又1,EOABOEO平面1AEB，1AB平面1AEB．所以1AB平面1ABE．……………………14分17．（本小题满分14分）（1）1212111102222222bababa椭圆1222yx…………4分（2）因为切点在第一象限，可设直线l为)0,0(mkmkxy，联立方程mkxyyx2222，得222122122221222140224)21(kmxxkkmxxmkmxxk（21,xx分别为A、B横坐标）222111kmkmd………………………………8分AB长：2222221221221224)214(14)(1kmkkmkxxxxklAB22221122kkk………………………………10分1632114621122121212222222）（）（kkkkkkdlSAB22210)12)(32(2131162222222kkkkkkk）（）（………………12分26m，直线l为2622xy………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）在AOB中，,,OAakmOBbkm3AOB由余弦定理得：222222cos2cos3ABOAOBOAOBAOBabab22abab所以：22ABabab………………………2分如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则13(,0),(,)22AaBbb，所以直线AB的方程：32()12byxaba即3(2)30bxabyab因为AB与扇形弧相切，所以22333(2)abbab，即2222112ababab．………………4分)6,3(,ba………………6分（2）因为OT圆O的切线，所以OT⊥AB．在RtOTA中，3tanAT；在RtOTB中，3tan()3BT；l2l1BAO（第18题图）T所以，3tan3tan()(0)33ABATTB．………………9分所以，3tan3(tan)13tanAB＝2tan13313tan．………………12分设13tanu，(1,4)u则21()143333(2)3223uABuuu，当且仅当u＝2，即6时取等号．此时，23OAOBkm．答：当23OAOBkm时，新建公路AB的长度最短．………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）当a=e时，2()xfxexxe，'()21xfxex．………………2分设()21xgxex，则(0)0g，且'()20.xgxe所以，()gx在(,)上单增，且当0x时，()(0)0gxg；当0x时，()(0)0gxg．即当0x时，'()0fx；当0x时，'()0fx．综上，函数()fx的单增区间是(0,)，单减区间是(,0)．………………4分（2）'()ln2ln(1)ln2xxfxaaxaaax①当1a，若0,x则1xa，ln0a，所以'()0fx若0,x则1xa，ln0a，所以'()0fx②当01a，若0,x则1xa，ln0a，所以'()0fx若0,x则1xa，ln0a，所以'()0fx所以()fx在(,0)上减,(0,)上增.………………6分所以min()(0)1fxfa………………8分（3）由（2）得：0,1aa，min()1fxa．ⅰ若10a即01