第十一章-------曲线回归

第十一章曲线回归第一节曲线的类型与特点第二节曲线方程的配置第三节多项式回归曲线回归(curvilinearregression)或非线性回归(non-linearregression)：两个变数间呈现曲线关系的回归。曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律的方法。曲线回归分析方法的主要内容有：①确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规律；②估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如回归参数、极大值、极小值和渐近值等；③为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足时作出理论上的外推。第一节曲线的类型与特点一、指数函数曲线二、对数函数曲线三、幂函数曲线四、双曲函数曲线五、S型曲线一、指数函数曲线指数函数方程有两种形式：图11.1方程的图象bxaeyˆxabyˆ00＞，＞ba00＜，＞babxaeyˆyx二、对数函数曲线对数函数方程的一般表达式为：图11.2方程=a+blnx的图象xbaylnˆ0＞b0＜byˆyx三、幂函数曲线幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：图11.3方程的图象baxyˆ＞1＞0ba＜10＜＞0ba＜0，＞0babaxyˆyyxx四、双曲函数曲线双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程一般有以下3种形式：图11.4方程的图象bxaxyˆxbxayˆbxay1ˆ00＞，＞ba＜0，＞0bab1bayybxaxyˆxx五、S型曲线S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故又称生长曲线。Logistic曲线方程为：bxaeky1ˆbalnk2kak1yx第二节曲线方程的配置一、曲线回归分析的一般程序二、指数曲线方程的配置三、幂函数曲线方程的配置四、Logistic曲线方程的配置bxaeyˆ一、曲线回归分析的一般程序曲线方程配置(curvefitting)：是指对两个变数资料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过程。由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基本步骤：1．根据变数X与Y之间的确切关系，选择适当的曲线类型。2．对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原理配置直线回归方程，并作显著性测验。3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并对有关统计参数作出推断。表11.1常用曲线回归方程的直线化方法应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点：(1)若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和最小的当选。(2)若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多项式逼近，(3)当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小二乘法拟合。2ˆ)(yy二、指数曲线方程的配置(11·1)两边取对数：(11·2)令，可得直线回归方程：(11·3)若与x的线性相关系数：(11·4)bxaeyˆbxaeyˆbxaylnˆlnbxaylnˆyxyxyxySSSSSPryyln显著，就可进一步计算回归统计数：(11·5)三、幂函数曲线方程的配置(11·6)axxyeaxbyaSSSPblnln/baxyˆbaxyˆ当y和x都大于0时可线性化为：(11·7)若令，，即有线性回归方程：(11·8)若线性相关系数：(11·9)xbaylnlnˆlnyylnxxlnxbaylnˆxyxyxySSSSSPr显著，回归统计数：(11·10)四、Logistic曲线方程的配置（a、b、k均＞0）(11·11)axxyeaxbyaSSSPblnln/bxaeky1K可由两种方法估计：①如果y是累积频率，则显然k=100%；②如果y是生长量或繁殖量，则可取3对观察值（x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入(11·11)得：)()()(321111321bxbxbxaekyaekyaeky若令，解得：移项，取自然对数得：2/)(312xxx31223213122)(yyyyyyyyyk2bxayykln)ˆˆln((11·13)(11·12)令，可得直线回归方程：(11·14)和x的相关系数：(11·15)回归统计数a和b由下式估计：)ln(yykybxaylnˆyxyrxyxySSSSSPaxxyeaxbyaSSSPblnln/(11·16)第三节多项式回归一、多项式回归方程二、多项式回归的假设测验一、多项式回归方程(一)多项式回归方程式多项式回归(polynomialregression)：当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近。二次多项式，其方程为：(11·17)2212ˆxbxbay三次多项式的方程式为：(11·18)332213ˆxbxbxbay多项式方程的一般形式为：(11·19)(二)多项式方程次数的初步确定多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势的峰数＋谷数＋１。若散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。kkkxbxbxbay221ˆ(三)多项式回归统计数的计算可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归的统计数。令，，…，(11·19)可化为：(11·20)xx122xxkkxxkkkxbxbxbay2211ˆ可采用矩阵方法求解。即由和knnnkkknnnkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx121112212121121111212221212111111111Xnyyy21Y求得、和()-1，并由b=()-1()获得相应的多项式回归统计数。(四)多项式回归方程的估计标准误y的总平方和SSy可分解为回归和离回归两部分：SSy=Uk+QkXXYXXXXXYX(11·21)k次多项式的离回归标准误可定义为：即是多项式回归方程的估计标准误。kykkyQSSnUQnSS/)(/)(22Y1YXbYXbYYY1YY1)(，，，/knQskxxxyk2(11·22)(11·23)二、多项式回归的假设测验多项式回归的假设测验包括三项内容：①总的多项式回归关系是否成立？②能否以k-1次多项式代替k次多项式，即是否有必要配到k次式？③在一个k次多项式中，X的一次分量项、二次分量项、…、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和平方和并入误差)？(一)多项式回归关系的假设测验多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起，具有：。离回归(Qk)：与X的不同无，具有。可测验多项式回归关系的真实性。k)1(kn1)]([knQkUFkk//(11·24)相关指数：，k次多项式的回归平方和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X的多项式的相关密切程度。决定系数：在Y的总变异中，可由X的k次多项式说明的部分所占的比率。kxxxyR，，，·2ykxxxySSURk/2，，，·(11·25)(二)k次多项式必要性的假设测验若k次多项式的k次项不显著，可由（k-1）次方程描述Y与X的曲线关系。有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度，对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是否“合算”。因此由：ykxxxySSURk22，，，·(11·27)可测验k次多项式的适合性。(三)各次分量项的假设测验偏回归平方和：1)]([knQUUFkkk/11)1)((iiiPcbUi2(11·28)此具有，故由：可测验i次分量是否显著。iPU11)]([knQUFkPi/(11·29)