初中数学+二次函数复习

第七章二次函数考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x的二次函数。)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式（10~16分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。考点三、二次函数的最值（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。考点四、二次函数的性质（6~14分）1、二次函数的性质函数二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，图像a0a0y0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y有最小值，abacy442最小值（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y有最大值，abacy442最大值（1）函数y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，且a0)叫做的二次函数．（2）利用配方，可以把二次函数表示成y＝a(x＋ab2)2＋abac442或y＝a(x－h)2＋k的形式（3）二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线的开口向上，当a＜0时抛物线开口向下．抛物线的对称轴是直线x＝－ab2或x＝h抛物线的顶点是(－ab2，abac442)或(h，k)2、二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、、a的含义：a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上a0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=ab2c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxxA0xB2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）三、学习的过程：分层练习（A组）一、选择题：1．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式是（）（A）y＝2m(1－x)（B）y＝2m(1＋x)（C）y＝m(1－x)2（D）y＝m(1＋x)22．抛物线4412xxy的对称轴是（）A、x＝－2B、x＝2C、x＝－4D、x＝43．抛物线y＝2(x－3)2的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上二、填空题：1.抛物线322xxy与x轴分别交A、B两点，则AB的长为________．2．若将二次函数y＝x2－2x＋3配方为y＝(x－h)2＋k的形式，则y＝__________．三、解答题(写出问题中的函数关系式及自变量的取值范围)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式．四、综合题已知一个二次函数的图象经过A(－2，25)、B(0，23)和C(1，－2)三点．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）通过配方，求函数的顶点P的坐标；（3）若函数的图象与x轴相交于点E、F，（E在F的左边），求出E、F两点的坐标．（4）作出函数的图象并根据图象回答：当x取什么时，y＞0，y＜0，y＝0答案一．选择题：CBC二．填空题：1．42.y＝(x－1)2＋2三、解答题：s＝100－r2(0＜r＜10)四.①y＝0.5x2－x－1.5②y＝0.5(x－1)2－2p(1，－2)③E(－1，0)F(3，0)④图略．当X＜－1或X＞3时y＞0.当－1＜X＜3时y＜0当X＝－1，X＝3时y＝0第26章二次函数26.1二次函数26.2用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第二十六章二次函数一．知识框架二．.知识概念1.二次函数：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。2.二次函数的解析式三种形式。一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式2()yaxhk224()24bacbyaxaa交点式12()()yaxxxx3.二次函数图像与性质轴：2bxa对称标：24(,)24bacbaa顶点坐与y轴交点坐标（0，c）4.增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小5.二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点6.图像平移步骤（1）配方2()yaxhk，确定顶点（h,k）yxOyxO（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴122xxx8.根据图像判断a,b,c的符号（1）a——开口方向（2）b——对称轴与a左同右异9.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=024bac0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；24bac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；24bac0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。课时18．二次函数及其图像【课前热身】1．将抛物线23yx向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．2.如图1所示的抛物线是二次函数2231yaxxa的图象，那么a的值是．3.二次函数2(1)2yx的最小值是（）A.－2B.2C.－1D.14.二次函数22(1)3yx的图象的顶点坐标是（）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3）5.二次函数yaxbxc2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.abc000，，B.abc000，，C.abc000，，D.abc000，，【考点链接】1.二次函数2()yaxhk的图像和性质OyxBAyxOa＞0a＜0图象开口对称轴顶点坐标最值当x＝时，y有最值当x＝时，y有最值增减性在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中h＝，k＝.3.二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系.4.二次函数cbxaxy2中cba,,的符号的确定.【典例精析】例1(06遂宁)已知二次函数24yxx，(1)用配方法把该函数化为2()yaxhk(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.(2)求函数的图象与x轴的交点坐标.例2（08大连）如图，直线mxy和抛物线cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴求m的值和抛物线的解析式；⑵求不等式mxcbxx2的解集．(直接写出答案)DCBAoyxoyxoyxoyx【中考演练】1.抛物线22xy的顶点坐标是.2.请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式.3.（07江西）已知二次函数22yxxm的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．4.函数2yax与(0,0)yaxbab在同一坐标系中的大致图象是（）5.(06资阳)已知函数y=x2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3B．-3≤x≤1C．x≥-3D．x≤-1或x≥36.(06浙江)二次函数cbxaxy2（0a）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0，其中正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个（第5题）（第6题）7.已知二次函数243yaxx的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；x01234y（3）根据图象回答：当函数值y0时，x的取值范围是什么？课时19．二次函数的应用【课前热身】1.二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝时，y有最小值是.2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为．3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2＋