【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 理 新人教A版

sin(α±β)＝；1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos(α∓β)＝；tan(α±β)＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos2α＝＝＝；2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝；tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．[试一试]1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1答案：B2．(2013·江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23解析：因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.答案：C1．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.3．三角公式关系1．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1答案：D[练一练]2．(2013·全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.23解析：法一：cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.法二：cosα＋π4＝22cosα－22sinα，所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.答案：A1.已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝________.解析：cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.答案：－752．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.答案：33．已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.解：(1)∵f(x)＝2sin13x－π6，∴f5π4＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2.(2)∵α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，∴2sinα＝1013，2sinβ＋π2＝65.即sinα＝513，cosβ＝35.∴cosα＝1213，sinβ＝45.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．[类题通法][典例](1)(2013·长春二模)在△ABC中，若tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()A．－22B.22C.12D．－12[解析](1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.故选B.能否求出tan(A+B)?提醒：C=π-(A+B)[典例](2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32[解析]sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.故选B.155°310°50°统一角110°70°20°统一为40°[答案](1)B(2)B[类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．1．(2014·赣州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为()A.45B.35C.32D.35[针对训练]解析：由条件得32sinα＋32cosα＝435，即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.答案：A2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：2[典例](2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.[解](1)∵α，β∈(0,π2)，从而－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1010.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．确定α－β的范围，进而求sin(α－β).β与α、(α－β)有什么关系β=α－(α－β)(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×－1010＝91050.在本例条件下，求sin(α－2β)的值.解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cosβ＝91050，sinβ＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－2425.1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；[类题通法]2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧．1．设tanα＋β＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16[针对训练]解析：tanα＋π4＝tan(α＋β)－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.答案：C解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250.2．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．答案：17250[课堂练通考点]1．(2014·青岛高三期末)已知sinπ4＋x＝35，则sin2x的值为()A．－2425B.2425C．－725D.725解析：sin2x＝sin2x＋π4－π2＝－cos2x＋π4＝－1－2sin2x＋π4＝－725.答案：C2．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3的值是()A．－233B．±233C．－1D．±1解析：cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝－1.答案：C3．若f(α)＝2tanα－2sin2α2－1sinα2cosα2，则fπ12＝________.解析：∵f(α)＝2tanα－－cosα12sinα＝2sinαcosα＋2cosαsinα＝4sin2α，∴fπ12＝4sinπ6＝8.答案：84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tanαtanβ的值为______．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝13.②①＋②得cosαcosβ＝14.②－①得sinαsinβ＝112.所以tanαtanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝13.答案：135．已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方，得sinα＝12.又π2απ，所以cosα＝－32.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cosβ的值．(2)因为π2απ，π2βπ，所以－π－β－π2，故－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.