2012高考数学理专题突破课件第一部分专题一第四讲：不等式

第四讲不等式主干知识整合1．一元二次不等式及其解集若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，且x1x2，则(1)当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为{x|xx1或xx2}，ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}．(2)当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}，ax2＋bx＋c0的解集为{x|xx1或xx2}．2．简单分式不等式的解法(1)变形⇒fxgx0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)；(2)变形⇒fxgx≥0(≤0)⇔fx·gx≥0≤0gx≠0.3．基本不等式：a＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．4．判断Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是在直线的哪一侧，方法为：(1)C≠0时，取原点(0,0)，若能满足Ax＋By＋C≥0，则不等式表示的平面区域就是含原点的区域，反之亦然．(2)C＝0时，取点(0,1)或(1,0)，判断方法同上．高考热点讲练不等式的解法例1已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}．(1)求a，b；(2)解不等式x－cax－b0(c为常数)．【解】(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即b＝2a，1＋b＝3a，解得a＝1，b＝2.(2)不等式等价于(x－c)(x－2)0，当c2时，解集为{x|xc或x2}，当c2时，解集为{x|x2或xc}，当c＝2时，解集为{x|x≠2，x∈R}．【归纳拓展】不等式的解法：(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．变式训练1已知f(x)＝－2x＋1x2，x01x，x0，则f(x)－1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选B.依题意，若－2x＋1x2－1，则x0，且x≠1；若1x－1，则x－1，综上所述，x∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)，选B.线性规划问题例2(1)在直角坐标平面上，不等式组y≤x＋2y≥00≤x≤t所表示的平面区域的面积为52，则t的值为()A．－3或3B．－5或1C．1D.3(2)(2011年高考广东卷)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y，给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．42B．32C．4D．3【解析】(1)不等式组y≤x＋2y≥00≤x≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由y＝x＋2x＝t解得交点B(t，t＋2)，在y＝x＋2中，令x＝0得y＝2，即直线y＝x＋2与y轴的交点为C(0,2)，由平面区域的面积S＝2＋t＋2×t2＝52，得t2＋4t－5＝0，解得t＝1或t＝－5(不合题意，舍去)，故选C.(2)由线性约束条件0≤x≤2，y≤2，x≤2y，画出可行域如图所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)的坐标代入z＝2x＋y得z的最大值为4.【答案】(1)C(2)C【归纳拓展】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．变式训练2设变量x，y满足约束条件x＋y≤3x－y≥－1x≥0y≥0，且目标函数z1＝2x＋3y的最大值为a，目标函数z2＝3x－2y的最小值为b，则a＋b＝()A．10B．－2C．8D．6解析：选D.如图，作出不等式组表示的可行域，显然当直线z1＝2x＋3y经过点C(1,2)时取得最大值，最大值为a＝2×1＋3×2＝8，当直线z2＝3x－2y经过点B(0,1)时取得最小值，最小值为b＝0－2×1＝－2，故a＋b＝8－2＝6.基本不等式例3(2011年高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.【答案】B【归纳拓展】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3已知a，b为正数，且直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为________．解析：依题意得2b－a(b－3)＝0，即2a＋3b＝1,2a＋3b＝(2a＋3b)(2a＋3b)＝13＋6ba＋ab≥13＋6×2ba×ab＝25，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值是25.答案：25不等式恒成立问题例4已知不等式mx2－2x－m＋10.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤1的一切m的值都成立，求x的取值范围．【解】(1)不等式mx2－2x－m＋10恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x0，即当x12时，不等式恒成立，不合题意，舍去．当m≠0时，函数f(x)为二次函数，要使不等式对任意的实数x恒成立，则m0Δ＝4－4m1－m0⇒m0，m2－m＋10，不等式组无解，综上可知，不存在这样的m.(2)把不等式mx2－2x－m＋10看成关于m的一元一次不等式．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题知该直线当－1≤m≤1时线段在x轴下方，∴f－10，f10，即x2＋2x－20，x2－2x0.解不等式组得3－1x2∴x的取值范围为{x|3－1x2}．【归纳拓展】(1)解决恒成立问题时要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的函数图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．变式训练4(2011年广东湛江调研)已知x0，y0，若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2解析：选D.因为x0，y0，所以2yx＋8xy≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m8，解得－4m2.考题解答技法例(2011年高考天津卷)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．【解析】由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×322ab(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时“＝”号成立)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时“＝”成立)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.【答案】18【得分技巧】本题考查了对数式的运算和基本不等式的应用，解题关键把9b化为32b，然后两次利用基本不等式，基本不等式成立的条件为a＝2b.【失分溯源】利用基本不等式易出现的问题：(1)应用基本不等式求最值时，不注意验证等号是否成立．(2)在求形如y＝x＋kx的函数的最值时，易忽视x，k的符号，盲目利用基本不等式求解．变式训练已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在解析：选A.设正项等比数列{an}的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2.由aman＝4a1，得2m＋n－2＝24，即m＋n＝6.故1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝56＋164mn＋nm≥56＋46＝32，当且仅当n＝2m时等号成立．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放