《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数代数形式的乘除运

3.2.23.2.2复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝____________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝______________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点3．共轭复数如果两个复数满足_________________________时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝________.4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝_____________________.实部相等，虚部互为相反数a－biac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一复数乘除法的运算问题1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2如何理解复数的乘除法运算法则？答复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例1计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i.解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；(3)方法一原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效方法二(技巧解法)原式＝[1＋i22]6＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1(1)i是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i等于()A．1＋iB．5＋5iC．－5－5iD．－1－i解析－1＋3i1＋2i＝－1＋3i1－2i1＋2i1－2i＝5＋5i5＝1＋i.故选A.A本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)复数i2＋i3＋i41－i等于()A．－12－12iB．－12＋12iC．12－12iD．12＋12i解析i2＋i3＋i41－i＝－1－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝－i＋12＝12－12i.C本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二共轭复数及其应用问题共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例2已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi且|z|＝a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得a＝45，b＝35，或a＝－45，b＝－35.所以z＝45－35i，或z＝－45＋35i.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知复数z满足：z·z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a2＋b2－2b＝82a＝6，解得a＝3b＝1，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．1解析z＝1i＝－i.A本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于()A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．3解析(1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.A本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．复数i－21＋2i等于()A．iB．－iC．－45－35iD．－45＋35iA本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D解析因为z＝2－i2＋i＝2－i25＝3－4i5，故复数z对应的点在第四象限，选D.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．本课时栏目开关填一填研一研练一练