《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】第二章

章末复习课本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型一圆锥曲线定义的应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课例1若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________.解析设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝2＋32＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－26.8－26研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练1已知椭圆x29＋y25＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，求|PA|＋|PF1|的最大值.解由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为6＋|PA|－|PF2|的最大值问题，即求|PA|－|PF2|的最大值问题，如图，在△PAF2中，两边之差小于第三边，即|PA|－|PF2||AF2|，连接AF2并延长交椭圆于P′点时，此时|P′A|－|P′F2|＝|AF2|达到最大值，易求|AF2|＝2，这样|PA|－|PF2|的最大值为2，故|PA|＋|PF1|的最大值为6＋2.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型二有关圆锥曲线性质的问题有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.例2已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A.x＝±152yB.y＝±152xC.x＝±34yD.y＝±34x解析由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(3m2－5n2，0)，双曲线焦点(2m2＋3n2，0)，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，又∵双曲线渐近线为y＝±6·|n|2|m|·x，∴代入m2＝8n2，|m|＝22|n|，得y＝±34x.D研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练2已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为__________.解析∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c＝4.∵e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝23.∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x，化为一般式为3x±y＝0.(±4,0)3x±y＝0研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型三直线与圆锥曲线位置关系问题1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行.2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题.3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课例3已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有ca＝63，a＝3，∴b＝1.∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).①当AB⊥x轴时，|AB|＝3.②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1).把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－13k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)36k2m23k2＋12－12m2－13k2＋1＝12k2＋13k2＋1－m23k2＋12＝3k2＋19k2＋13k2＋12＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6(k≠0)研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立.此时Δ＝12(3k2＋1－m2)0，当k＝0或不存在时，|AB|＝3，综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值S＝12×|AB|max×32＝32.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课小结解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练3已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b).(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围.解(1)由题意，得a＋3b＝(x＋3，3y)，a－3b＝(x－3，3y)，∵(a＋3b)⊥(a－3b)，∴(a＋3b)·(a－3b)＝0，即(x＋3)(x－3)＋3y·3y＝0.化简得x23＋y2＝1，研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课∴Q点的轨迹C的方程为x23＋y2＝1.(2)由y＝kx＋mx23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ0，即m23k2＋1.①(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2mm2，解得0m2，由②得k2＝2m－130，解得m12，故所求的m的取值范围是12，2.(ⅱ)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m23k2＋1，解得－1m1.∴当k≠0时，m的取值范围是12，2，当k＝0时，m的取值范围是(－1,1).研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课1.已知F1、F2为双曲线x25－y24＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.37＋4B.37－4C.37－25D.37＋25解析如图所示，连接F1P交双曲线右支于点A0.∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值.当A落在A0处时，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值为37，∴|AP|＋|AF2|的最小值为37－25.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________.解析椭圆x216＋y29＝1的焦点坐标为F1(－7，0)，F2(7，0)，离心率为e＝74.由于双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝a2＋b2a＝7a，所以7a＝274，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为x24－y23＝1.x24－y23＝1练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课3.一动圆与圆(x＋3)2＋y2＝1外切，又与圆(x－3)2＋y2＝9内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________.解析如图所示，设动圆圆心坐标为M(x，y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则|MO1|＝|MA|＋1，①|MO2|＝|MB|－3，②①－②得|MO1|－|MO2|＝4.由双曲线定义知，M点轨迹是以(±3,0)为焦点，实轴长2a＝4的双曲线右支，即a＝2，c＝3，∴b＝c2－a2＝5，∴轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2).x24－y25＝1(x≥2)练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课4.已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________.解析若k不存在，则y21＋y22＝32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.由题意设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，由y＝kx－4，y2＝4x得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4k2＋3232.∴y21＋y22的最小值为32.32练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.本讲栏目开关画一画研一研练一练