专题四解析几何综合题型分析及解题策略

专题四：解析几何综合题型分析及解题策略【命题趋向】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，如08年08年江西理7文7题(5分)是基础题，考查与向量的交汇、08年天津文7题(5分)是基础题，考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题(12分)中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题(12分)中档偏下题，考查解析几何与三角函数的交汇，等等.预计在09年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.【考试要求】1．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．3．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．4．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．5．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．6．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．【考点透视】解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分，而直线和圆单独命为解答题较少，只有极个别的省市高考有出现，而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点：（1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程；（2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等；（3）圆锥曲线的定义及标准方程；（4）与圆锥曲线有关的轨迹问题；（5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.【典例分析】题型一直线与圆的位置关系此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.【例1】若直线3x＋4y＋m＝0=0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_____________.【分析】利用点到直线的距离来解决.【解】圆心为(1,－2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得d＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42＞r＝1，即|m－5|＞5，m∈(－∞,0)∪(10,＋∞).【点评】解答此类题型的思路有：①判别式法(即方程法)，②平面几何法(运用d与r的关系)，③数形结合法.由于圆的特殊性(既是中心对称图形又是轴对称)，因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解.题型二圆锥曲线间相互依存抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大.【例2】(2009届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆x225＋y29＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A．±2B．±43C．±34D．±12【分析】根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程，由此得到关于双曲线关于a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近线的斜率.【解】由椭圆方程知双曲线的焦点为(5，0)，即c＝5，又同椭圆的焦点得a2c＝4，所以a＝25，则b＝c2－a2＝5，故双曲线渐近线的斜率为±ba＝±12，故选D.【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题.题型三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解.【例3】(2009届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为23．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．【分析】第(1)小题利用直接法求解；第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解；第(Ⅲ)小题须利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第(Ⅱ)小题k的范围求解.【解】(Ⅰ)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由已知，得a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为x23－y2＝1.(Ⅱ)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．由题意知1－3k2≠0△＝36(1－k2)＞0xA＋xB＝62k1－3k2＜0xAxB＝－91－3k2＞0，解得，33＜k＜1．∴当33＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．（Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2．∴AB中点P的坐标为（32k1－3k2，21－3k2）．设l0方程为：y＝－1kx＋b，将P点坐标代入l0方程，得b＝421－3k2．∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b－22．∴b的取值范围为：(－，－22)．【点评】本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决.特别地：(1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；(2)求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.题型四圆锥曲线与三角函数的交汇此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数，或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等，解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答.【例4】(08年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知是三角形的一个内角，且sin＋cos＝15，则方程x2tan－y2cot＝－1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【分析】首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体化圆锥曲线方程，再根据方程进行判断.【解】由sin＋cos＝15及sin2＋cos2＝1，且0＜＜π，解得sin＝45，cos＝－35，因此x2tan－y2cot＝－1就是4x23－3y24＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，故选A.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.题型五圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等.【例5】(2009届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(－1，0)、B(1，0)，平面内两点G，M同时满足下列条件：①→GA＋→GB＋→GC＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝|→MC|：③→GM∥→AB.(Ⅰ)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(3，0)的直线l与(Ⅱ)中轨迹交于E，F两点，求→PE·→PF的取值范围.【分析】由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(Ⅰ)小题就可求解.第(Ⅱ)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立→PE·→PF关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果.【解】（Ⅰ）设C(x，y)，G(x0，y0)，M(xM，yM)，∵|→MA|＝|→MB|，∴M点在线段AB的中垂线上.由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y0，又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)，∴x0＝x3，y0＝y3，yM＝y3，∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2，∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴顶点C的轨迹方程为x2＋y23＝1(y≠0).（Ⅱ）设直线l方程为：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去y得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3，而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2|＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3，由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38，∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889).【点评】本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：(1)对条件中的向量关系的转化；(2)建立→PE·→PF关于直线斜率k的函数.解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大.题型六圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.例6(2009届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线an1y2－anx2＝an1an的一个焦点为(0，cn)，一条渐近线方程为y＝2x，其中{an}是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{ncn3}的前n项和Sn.【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立cn与an、an1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短