光学中常用的非初等函数

1第一章第一章第一章第一章光学中常用光学中常用光学中常用光学中常用的的的的非非非非初等函数初等函数初等函数初等函数在光学尤其是信息光学中，经常会用到一些非初等函数，用以描述各种物理量。掌握它们的定义、熟悉它们的图像以及对应的物理过程，有助于分析和理解许多光学现象。这里，将介绍这些函数的定义、性质以及习惯用的符号。建议同学们课后用Matlab画出其图形，使我们对这些函数有更为直观的感觉。1.1矩形函数矩形函数矩形函数矩形函数矩阵函数(RectangleFunction)是在信号处理中最常用的函数之一，也是最有用的函数之一。一维矩形函数的定义为：00001,22rect0,,22bbxxxxbbbxxxx-≤-≤-=---(1.1.1)式中0b，表示函数以0x为中心，宽度为b，高度为1矩形。一个常用的形式是：00,1xb==，这时可以写为rect()x，这是以0=x为对称轴，高度和宽度都为1的矩形。一维矩形函数的图形见图1.1.1。显然，矩阵的面积=||b。矩形函数可以描述单缝、矩孔的透过率。在时间域中，当用x表示时间变量时，光学中可以用一维矩形函数来描写照相机快门，式(1.1.1)中的b便是曝光时间；矩形函数与某函数相乘后，可限制该函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用。所以，一维矩形函数也称为门函数(GatingFunction)。例如，乘积cosrect(/)xxb⋅表示余弦函数只出现在区间()/2,/2bb-上。图图图图1.1.1一维矩形函数的图形一维矩形函数的图形一维矩形函数的图形一维矩形函数的图形2*****************************rectpuls()–该函数产生非周期的、单位高度的矩形信号，其调用格式如下：y=rectpuls(t)y=rectpuls(t,w)其中，t为时间向量，w为矩形脉宽。例：用matlab画出中心在2秒，脉宽为2秒的矩形脉冲。解：matlab程序如下：t0=2;t=-3:0.01:3;w=2;y=rectpuls(t-t0,w);plot(t,y)axis([0401.1])xlabel('时间，s')运行结果如下：00.511.522.533.5400.20.40.60.81时时，s*****************************二维矩形函数定义为一维矩形函数的乘积：0000000000rect,rectrect1,,22220,,,,2222xxyyxxyybdbdbbddxxyybbddxxxxyyyy----=⋅-≤-≤-≤-≤=------(1.1.2)3其中，0,0bd。该函数可以看作二个二维函数和乘积，它在xoy平面中内，以00(,)xy为中心的bd×矩形区域内，函数值为1，其他地方处处等于0，函数图形如图1.1.2所示。图图图图1.1.2二维矩形函数的图形二维矩形函数的图形二维矩形函数的图形二维矩形函数的图形二维矩形函数可用来描述无限大透明屏上矩形孔的透过率。函数所形成的长方体的体积为=||bd×。1.2sinc函数函数函数函数一维sinc函数的定义为：[]000sin()/sinc()/xxaxxaxxaππ--=-(2.1)式中0a。函数在0xx=处有最大值为1。零点位于naxx±=-0),2,1(⋯=n。对于00=x，为中心，宽度为a，高度为1矩形。一个常用的形式是：1,00==ax的情况，(1.1.3)式变成sinc()x，函数的图形如图1.2.1所示。图图图图1.2.1一维一维一维一维sinc函数的图形函数的图形函数的图形函数的图形4上图中，我们可以看到原点两侧第一级零点之间的宽度a2，称为sinc函数的主瓣宽度，并且它的面积(包括正波瓣和负波瓣)刚好等于a。*****************************sinc()–该函数产生宽度为2π，幅度为1的矩形脉冲的连续傅里叶反变换信号。其调用格式如下：y=sinc(x)返回与x相同维数的向量。例：用matlab画出sinc函数。解：matlab程序如下：x=-10:0.01:10;y=sinc(x);plot(x,y)xlabel('x')运行结果如下：-10-8-6-4-20246810-0.4-0.200.20.40.60.81x*****************************二维sinc函数可视为二个一维sinc函数的乘积，定义为：0000sinc,sincsincxxyyxxyyabab----=⋅(2.1)式中0,0ba。零点位置在),(mbna±±，mn,均正整数，其函数图形如图1.2.2所示。由基础光学中知道，sinc函数可用来分别描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射的振幅分布，其平方表示衍射图样。由于sinc函数与矩形函数(单缝、矩孔的透过率)之间的这种紧密联5系。所以，它们在傅里叶光学中经常用到。图图图图1.2.2二维二维二维二维sinc函数的图形函数的图形函数的图形函数的图形另外，与之相关的还有一个称为2sinc，其定义如下：2220000sinc,sincsincxxyyxxyyabab----=⋅(1.1.5)2sinc函数是光电混合信号处理中常用的一种函数。它可用来描写单狭缝夫琅和费衍射图样的一维强度剖面图，也可用来描述非相干照明点扩展函数(也称为脉冲响应)。它与三角状函数成为互为傅里叶变换对。其函数图形如图1.2.3所示。图图图图1.2.3sinc2数的图形数的图形数的图形数的图形1.3三角形函数三角形函数三角形函数三角形函数一维三角函数(TriangleFunction)的定义为：60000011tri01xxxxxxxxbbbbxxb-----=Λ=-(1.3.1)式中0b。该函数可视为以0x为中心，底边长为2b，高度为1的等腰三角形。其图形如图1.3.1所示。显然，三角形的面积=||b。图图图图1.3.1一维三角函数的图形一维三角函数的图形一维三角函数的图形一维三角函数的图形*****************************tripuls()–该函数产生连续的、非周期的、幅度为1的三角形脉冲信号，其调用格式如下：y=tripuls(t)y=tripuls(t,w)y=tripuls(t,w,s)其中，t为时间向量，脉冲的时间中心为t=0，w为脉冲的宽度，s表示三角波的倾斜度，当s=0时，产生对称的三角脉冲信号。例：用matlab画出中心在0秒，脉宽为2秒的三角形脉冲。解：matlab程序如下：t=-3:0.01:3;w=2;y=tripuls(t,w);plot(t,y)axis([-3301.1])xlabel('时间，s')7运行结果如下：-3-2-1012300.20.40.60.81时时，s*****************************二维三角函数可视为二个一维三角函数的乘积，定义为：00000000tri,tritri11,10otherxxyyxxyybdbdxxyyxxyybdbd----=⋅------=(1.3.2)式中0,0bd，其函数图形如图1.3.2所示。其体积为二维三角函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。图图图图1.3.2二维三角函数的图形二维三角函数的图形二维三角函数的图形二维三角函数的图形81.4符号函数符号函数符号函数符号函数一维符号函数(SignumFunctions)的定义为：00001sgn01xxbbxxxxbbbxxbb+-==-(1.4.1)其图形如图1.4.1所示。图图图图1.4.1符号函数的图形符号函数的图形符号函数的图形符号函数的图形如果00x=，则函数为：-=+=010001sgnaxaxaxax(1.4.2)其图形如图1.4.2所示。图图图图1.4.2处于原点的符号函数处于原点的符号函数处于原点的符号函数处于原点的符号函数9显然符号函数的宽度与面积的概念是没有意义的。而a的正负仅仅决定函数的取向。符号函数)sgn(x与某函数相乘，可使该函数在某点的极性(正负号)发生翻转。例如某孔径的一半嵌有π位相板，则可利用符号函数来描述此孔径的复振幅透过率。*****************************sign()–该函数产生符号函数，其调用格式如下：y=sign(x)返回与x相同维数的的矩阵。例：用matlab画出符号函数。解：matlab程序如下：x=-3:0.01:3;y=sign(x);plot(x,y)axis([-33-1.11.1])运行结果如下：-3-2-10123-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81*****************************1.5阶跃函数阶跃函数阶跃函数阶跃函数一维阶跃函数(StepFucction)的定义为：10000001step21xxbbxxxxbbbxxbb-==(1.5.1)其函数图形如图1.5.1所示。该函数在原点0xx=处有一个间断点，取值为2/1，因此在这种情况下讨论函数的宽度是没有意义的。不过，这种定义式只是为了上面的符号函数相呼应，对于实际计算来说，这种间断点的情况无关紧要，通常无需考虑。将一维阶跃函数与某函数相乘时，在0xx的部分，乘积等于该函数；在0xx的部分，乘积恒等于0。因而一维阶跃函数的作用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另一个函数。例如乘积cos(2)step()xxπ⋅，对于0x恒等于0，而对于0x(取00x=)，则是)2cos(xπ。图图图图1.5.1一维阶跃函数的图形一维阶跃函数的图形一维阶跃函数的图形一维阶跃函数的图形二维阶跃函数定义为：(,)step()fxyx=(1.5.2)上式表明，这里定义的二维阶跃函数在y方向上等于常数，而在x方向上等同于一维阶跃函数。其函数图形如图1.5.2所示。这种函数可用来描述光学直边(或刀口)的透过率。11图图图图1.5.2二维阶跃函数的图形二维阶跃函数的图形二维阶跃函数的图形二维阶跃函数的图形符号函数与一维阶跃函数之间存在下列关系式：sgn()2step()1xx=-(1.5.3)与符号函数一样，阶跃函数的宽度与面积的概念也是没有意义。*****************************例：用matlab画出阶跃函数。解：matlab程序如下：x=-3:0.01:3;y=(sign(x)+1)/2;plot(x,y)axis([-3301.1])运行结果如下：-3-2-1012300.20.40.60.81*****************************121.6圆柱函数圆柱函数圆柱函数圆柱函数圆柱函数(CircleFunction)，也称圆域函数或柱状函数，在直角坐标系中的定义为：22221circ0otherxyxyaa++≤=(1.6.1)在极坐标系中的定义为：1circ0rarraa≤=(1.6.2)其函数图形如图1.6.1所示。图图图图1.6.1圆柱函数的图形圆柱函数的图形圆柱函数的图形圆柱函数的图形其图形呈圆柱形，圆柱的半径为a，高度等于1。圆柱函数可以用来描述无限大不透明屏上圆孔的透过率。1.7高斯函数高斯函数高斯函数高斯函数一维高斯函数(GaussianFucction)的定义为：202()0Gaussxxaxxeaπ---=(1.7.1)式中，0a，其函数图形如图1.7.1所示。指数中加入π因子，是为了使高斯函数曲线中央高度具有最大值1，曲线下的面积等于a。131.