第六章-弹性波波动方程及其解

第六章弹性波波动方程及其解§6.1线性弹性动力学的基本方程1.基本方程运动微分方程几何方程22,tufiijji)(21,,ijjiijuue)(21)(21)(21322332133113122112333322221111xuxuexuxuexuxuexuexuexue本构方程分析已知方程数——15个；未知数——15个；ijijije2:各向同性时JIJIklijklijeCeC::各向异性时边界条件和初始条件边界条件给定了弹性体在其边界面上所满足的条件。边界条件分类位移边界条件：当S=SU时应力边界条件：当S=St时混合边界条件：当S=SU+St时在St上在SU上iiuuˆjijintˆjijintˆiiuuˆ初始条件初始条件给定了弹性体在时刻t=0时的位移和速度，称为初始条件。在V+S的弹性体上有：定解条件边界条件+初始条件iiiiivtvtuutu~)0()0(~)0(为已知函数~,~iivu弹性波动力学的求解路线弹性波动力学问题的表述：弹性体的形状、大小以及其物理性质(即密度和弹性系数)；弹性体所受外来作用的体力及表面力；弹性体所受的约束性；弹性体各点的初始位移及初始速度，求:弹性体内的位移场、应变场及应力场。按应力求解①由15个基本方程求出),(txij；②由ijije21)23(2求出),(txeij；③验证),(txeij是否满足相容性条件；④由),(txeij求解出),(txui按位移求解①由15个基本方程求出),(txui；②由),(txui求),(txeij；③由ijijije2求出),(txij；2三维三分量波动方程2.各向同性介质三维三分量波动方程)1(22,tufiijji)2()(21,,ijjiijuue)3(2ijijije)4()(:,)3()2(,,,ijjiijkkijuuu得式式代入将)5()(:)1()4(,,,iiijjjjiijkjkufuuu得代入将iiijjjjijijufuuu)(,,,.)(.)(,,,方程称为纳维内传播时所满足的方程即为位移在弹性体式Navierufuuuiiijjjjijij纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中的弹性波最基本方程。iijjijijufuu,,)(指标表示的纳维方程向量表示的纳维方程ufuu2)()(ufu2)(线性弹性体的整个理论就是在定解条件下解纳维方程。三维三分量的含义位移场ui是空间坐标x1、x2、x3的函数，因此，是三维立体空间的；位移场ui有u1、u2、u3三个分量，因此，是三分量的；体力为零时的纳维方程通常在研究地震波的传播时，认为地壳所受的体力为零，即：f=0。此时，纳维方程可表示为：uuu2)()(3.弹性流体介质中的波动方程弹性流体介质中的基本方程几何方程运动微分方程(不计体力)本构方程？弹性流体中的本构方程黏滞力：在实际流体中两层流体间的相互滑动时，流体间有相互作用的阻力，称其为黏滞力或内摩擦力。理想流体介质：可以将黏滞力忽略的流体称为理想流体。在理想流体中只存在胀缩力，而不存在剪切力。)(21,,ijjiijuueijjiu,右图为理想弹性体内的某个体元，其只受外法线方向相反的正应力，而无剪应力。即：上式中P为压力，当体元为单位体元时，P可视为压强。PPijijPijijije2ijij,0jiPijii,0弹性流体中的波动方程将上式代入运动微分方程，得上式两边取散度将压力与应变关系代入上式)(不求和iKii32KK)(,uKKjii矢量形式的声波方程——)(uKu体应变表示的声波方程——2K压力形式的声波方程——2PKP§6.2无旋波和无散波斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理任何一个足够平滑的矢量场都可以分解成无旋的部分和无散的部分，这称为斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理。结论无旋位移场的散度对应弹性休的胀缩应变场；表示无散的部分表示无旋的部分令SPuu,SPuuu0Pu0Pu0Su0SuSuuPuu无散位移场的旋度对应弹性体的切应变情形；在非稳定条件下，这两种场分别以波的形式运动着，故分别叫做无旋波和无散波，也称之为胀缩波与等体积波。无旋位移场波动方程Puu,对于无旋场来说PuuPPPuuu)()(0Pu又0)(PPuuPPPuuu2)(ufuu2)()(代入纳维方程试证对于任意一阶张量都成立！PPufu2)2(PPPufuV22)2(PV基中结论：在均匀各向同性弹性体内，膨胀扰动以速度VP向外传播。这种膨胀波称为纵波或P波。其传播速度为VP。如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：22221tuVuPPP无散位移场的波动方程Suu,对于无散场来说0Suu又ufuu2)()(代入纳维方程SSufu2SSSufuV22sv结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向外传播。这种切变波称为横波或S波。其传播速度为VS。如果只研究横波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：22221tuVuSSS体应变表示的纵波方程两边取散度ufuu2)()(222)(tufu222)(uu222222)(tuttu又2222)2(tf2222tfvp)2(PV此时只有胀缩波，波有旋转波！为什么？如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：22221tvp上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。转动矢量表示的横波方程两边取旋度ufuu2)()(222)()()())(()(tufuu0)(u222)()()(tufu弹性体发生剪切形变时，由于转动很小，由矢量分析可知，定义转动矢量：u21222221tfvssv如果只研究横波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：22221tvs§6.3标量势与矢量势拉梅势(Lame＇)根据斯托克斯—亥姆霍兹矢量分解定理，位移矢量场可以分解成无旋场与无散场两个部分。如果位移矢量表示的纳维方程二次可微，则存在一个标量势函数f和一个矢量势函数y，此时位移场可表示为：同理，对于体力也存在一个标量势函数F和一个矢量势函数A，此时体力可表示为：),(),(),(trtrtruy),(),(trAtrFf.),(),(被称为拉梅矢量势被称为拉梅标量势txtxy表示无旋场？表示无散场？以势函数表示的波动方程ufuu2)()(将势函数代入上式，则：)()()()()(2yyyAF0][])2[(22yyAF因为在空间区域V及任意时间区域中有上式成立，则有：2222tFvpf2222tAvsyy有和对于拉梅势),(),(txtxy2uy2u如果对标量势表示的波动方程两边取梯度如果对矢量势表示的波动方程两边取旋度如果F=A=0，则2222tuFuvPPp2222tuAuvSSs22221tuvuPpP22221tuvuSsS因此，用标量势函数和矢量势函数表示纵波和横波的传播是合理的！弹性波波动方程的一般表达式由以上的讨论可知，位移矢量u、位移势函数f和y、体积应变及转动角矢量都具有相同的方程形式，为了方便起见，可以用统一的方程表示。当有体力时，可表示为达朗贝尔方程当只考虑波的传播，不考虑体力时此时的纵波波动方程为ftV22221yy012222tVyy横波波动方程012222tVPyyy标量势也可以是体应变或是其某个分量的取值可以是,,Pu012222tVSyy)2(PVSVyy矢量势量也可以是旋转或是其某个分量的取值可以是,,向Su§6.4三维三分量波动方程的退化处理以上讲到的波动方程都是三维三分量的，与当前地震勘探的实际情况有此差别。由于条件的限制，目前在进行地震勘探时所有的检波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面的垂向分量的地震波。因此，在处理很多问题时我们将三维三分量波动方程进行退化处理。所谓退化处理就是人为地降低波动方程的维数或分量。二维单垂向分量波动方程(2D1VC)二维单垂向分量是目前常规二维地震勘探数据采集的观测方式，即在地表直测线上采集地震数据的观测方式。OX3X131:xox观测平面3:uu接收的位移分量0:,21uu有此时3,3,uuii022322122xxxijjijijuuu,,)(将上述条件代入3,33,)(uuujjjj333,311,333,3)()(uuuu311,333,3)2(uuu11,3233,323uVuVuSP上式就是所要求的二维单垂向分量波动方程。i必须等于3结论接收点记录的地震波场中，即有纵波成分又含有横波成分。所得到的记录是纵波与SV型横波的复合型地震波场。但由于地震波的激发方式和接收方式等因素的选择设计，会使此复合型波场中的纵波成份占主导地位。因此，通常用如下式所示的声波方程代替32321uVuP当接收的是ox1轴分量时的情况又怎样？0:,32uu有此时022322122xxxijjijijuuu,,)(将上述条件代入i必须等于11,11,)(uuujjjj133,111,111,1)()(uuuu133,111,1)2(uuu33,1211,121uVuVuSP当接收的是ox2轴分量时的情况又怎样？此时接收的波场中只有横波分量，没有纵波分量！0:,31uu有此时022322122xxxijjijijuuu,,)(将上述条件代入i必须等于22,22,)(uuu