第三章-概率论习题课

第三章多维随机变量及其分布习题课例1为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中.是否患肺癌是否吸烟患未患吸烟34597不吸烟118399X=1若被调查者不吸烟,X=0若被调查者吸烟,Y=1若被调查者未患肺癌,Y=0若被调查者患肺癌.令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布:P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.YX0100.000130.1998710.000040.79996例2一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的可能取值为),2,1(,312231}2,1{YXP,312132}1,2{YXP.312132}2,2{YXP解),1,2().2,2(122故(X,Y)的分布律为XY21213103131,31,022211211pppp下面求分布函数.2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时或当yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时当yx,2,21)3(时当yx),(yxF},{yYxXP;011p;01211pp;31,21,2)4(时当yx;31),(2111ppyxF,2,2)5(时当yx),(yxF22122111pppp.12112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(所以(X,Y)的分布函数为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或例3二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=Dyxijjip)(,得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75XY-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}}.{)2();,()1(.,0,0,0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx求概率求分布函数其它具有概率密度设二维随机变量例4解yxyxyxfyxFdd),(),()1(.,0,0,0,dde200)2(其他yxyxyxyx.,0.0,0),e1)(e1(),(2其他得　　yxyxFyx}),{(}{GYXPXYP(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有yxyxfGdd),(yxyyxdde20)2(.31XYGxyO例5若(X,Y)～(23),0,0(,)0,xyAexyfxy其它试求:(1)常数A;(3)P（X≤x,Y≤y）；(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.(2)P{X2,Y1};(23)00xyAedxdy00y3x2dxdyeAe所以,A=600y3x2dyedxeA0)e31(0)e21(Ay3x2=A/6=1XY0P{X2,Y1}211}Y2,{Xy)dxdyf(x,{X2,Y1}21(23)006xydxedy2123006xyedxedy43(1)(1)ee(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,xytsdtdse00)32(623006xystedsedt23(1)(1)xyee其它00,0)1)(1(),(32yxeeyYxXPyx(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6XY013(62)(23)3006xxydxedy32602()xeedx617e解:(1)例6设(X,Y)的概率密度函数为其中A是常数.(1)求常数A.(2)求(X,Y)的分布函数；(3)计算P{0X4,0Y5}.RyxyxAyxf,)25)(16(),(2221)25)(16(222dxdyyxA1)25(1)16(1222dyydxxA即201545251,4161222AAdyydxx21512141255124412025116120)25)(16(20),().2(2222222yarctgxarctgyarctgxarctgdvvduududvvuyxFyxyx(3)P{0X4,0Y5}161414105551044412025116120)25)(16(20250240225040222arctgarctgdyydxxdxdyyx解:例7YX0107/157/3017/301/15设(X,Y)的分布律为103151307}{107307157}{2122221111jjjjpxXPppxXPp求:分量X和Y的边缘分布.103151307}{107307157}{2122221111iiiipyYPppyYPpYX01pi.07/157/307/1017/301/153/10p.j7/103/101把这些数据补充到前面表上:例8已知(X,Y)的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)=0001yyyeeyy.)(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量解yyxfxfXd),()(,10时当xyyxfxfXd),()(xxy2d6例9xy2xyOxy)1,1().(62xx,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX.,0,10),(6)(2其他因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(,10时当yxyxfyfYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY.,0,10),(6)(其他得yyyyfYyyxd6).(6yyxy2xyOxy)1,1(例10设(X,Y)的联合密度为其他,0,10,0,),(yyxkxyyxf其中k为常数.求(1)常数k;(2)P(X+Y1),P(X0.5);(3)联合分布函数F(x,y);(4)边缘密度与边缘分布函数y=x10xy10,0),(yyxyxD解令D(1)1),(dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8ky=x10xy(2))1(YXP0.5y=x10xy15.018yyxydxdy.6/5y=x10xy0.5)5.0(XP5.0018xxydydx.16/7的分段区域0x0yy=x10xyD10xxy01yx1y1x10y1y当0x1,0yx时，1(3)xydvduvufyYxXPyxF),(,),(当x0或y0时,F(x,y)=04008yuvdudvyv当0x1,xy1时，422028),(xyxuvdvduyxFxyuv=u10uv),(yxF当0x1,y1时，xuuvdvduyxF018),(v=u10uv1422xx当x1,0y1时，v=u10uv1当x1,y1时，1),(yxF4yyvuvdudv008),(yxFF(x,y)=0,x0或y0y4,0x1,0yx2x2y2–y4,0x1,xy12x2–x4,0x1,y1y4,x1,0y11,x1,y1(4)),()(xFxFX=0,x0，2x2–x4,0x1,1,x1),()(yFyFY0,y0y4,0y1,1,y1=其他,010,44)(3xxxxfX其他,010,4)(3yyyfY当然也可直接由联合密度求边缘密度，例如dvvxfxfX),()(18,010,xxvdvx其他v=u10uv1344,010,xxx其他解:例11设随机变量(X,Y)的分布律为:YX01Pi.00.000130.199870.2000010.000040.799960.80000p.j0．000170．999831P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017≠0.00013=P{X=0,Y=0}∴X和Y不相互独立.讨论随机变量X与Y的独立性.),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例12的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有例13设二维随机变量(X，Y)具有密度函数2(),0,0,(,)0,xyCexyfxy其他.试求（1）常数C；（2）(X，Y)落在如下图所示的三角区域内D的概率；（3）关于X,Y的边缘分布并判断X,Y是否相互独立．解(1)由分布函数的性质，可得1(,)fxydxdy2()00xyCedxdy22004xyCCedxedy故4C(2){(,)}(,)DPXYDfxydxdy112()004xxydxedyxDyO1x+y=11213e(3)关于X的边缘密度函数为()(,)Xfxfxydy0x当时，()0Xfx＝当时，0x()(,)Xfxfxydy2()04xyedy＝故有22,0,()0,0.xXexfxx＝22xe同理可求