4.1数学期望

14.1数学期望一、离散型随机变量的期望二、连续型随机变量的期望三、随机变量的函数的期望四、期望的性质2分布函数全面描述了随机变量的概率性质,但实际问题中,有时不需要知道随机变量的全面情况而只要知某些特征就够了.所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值、最大可能值等,它们反映随机变量的某方面的特征.例如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中?这些特征往往为数字特征所决定3例1某班有N个人,其中有ni个人为ai分,i=1,2,…,k,一、离散型随机变量的数学期望Nnkii1,求平均成绩解:平均成绩为:kiiikiiiNnanaN111若用X表示成绩,则NnaXPii}{kiiikiiiaXPaNna11}{4定义:设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,…),若级数绝对收敛(即kkkpx||kkkpx),则称为X的数学期望,简称期望或均值,记为E(X)即1)(kkkpxXEkkkpx也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.5例2已知离散型随机变量X的可能值为x1=1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求对应于可能值x1,x2,x3的概率p1,p2,p3解:p1+p2+p3=1E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1X201Pp2p1+p3E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9得:p1=0.4,p2=0.1,p3=0.56常见离散型分布的期望:1.两点分布X～B(1,p):X01P1ppE(X)=0(1p)+1p=p72.二项分布X～B(n,p):nkkXkPXE0}{)(nkknkknppkC0)1(nkknkknppCnp1111)1(令i=k1,得:1011)1()(niiniinppCnpXE=np[p+(1p)]n1=np),,1,0()1(}{nkppCkXPknkkn83.泊松分布X～P():0!)(kkkekXE11)!1(kkke令i=k1,得:0!)(iiieXE=ee=),2,1,0(!}{kekkXPk9二维离散型的期望:iiipxXE)(ijijipxjjjpyYE)(ijijjpy10设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0x1x2…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为iixxf)())((1iiixxxf二、连续型随机变量的期望11小区间[Xi,Xi+1)由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.iiiixxfx)(这正是dxxfx)(的渐近和式.阴影面积近似为iixxf)(近似,iixxf)(因此X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是12定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分dxxxf)(绝对收敛(即dxxfx)(||),则称积分dxxxf)(为X的期望,记为E(X)即dxxxfXE)()(由此启发我们引进如下定义.也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.13常见连续型分布的期望:1.均匀分布X～U[a,b]:dxxxfXE)()(dxabxba2ba=其它,0,1)(bxaabxf142.指数分布:dxexXEx0)(1=)0(0,00,)(xxexfx153.正态分布X～N(,2):dxexXEx222)(21)(令tx,得:dtetXEt22)(21)(=xexfx,21)(222)(16二维连续型的期望:dxxxfXEX)()(dxdyyxxf),(dyyyfYEY)()(dxdyyxyf),(17三、随机变量的函数的期望Y=g(X),为了求Y的期望,可以先求Y的分布,也可以由X的分布来求Y的期望定理:设g(x)是连续函数,Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(1)设X是离散型随机变量,分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,…)若1)(kkkpxg1)()]([)(kkkpxgXgEYE绝对收敛,则有:18(2)设X是连续型随机变量,概率密度为f(x),若dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(绝对收敛,则有:该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.19推广到二维:Z=g(X,Y)离散型:ijijjipyxg),(连续型:dxdyyxfyxg),(),(E(Z)=E[g(X,Y)]E(Z)=E[g(X,Y)]20=010.15+020.15+110.45+120.25例3设随机变量(X,Y)的分布律如下:解:E(XY)=0.95XY12010.150.150.450.25求E(XY)ijijjipyxg),(21例4设(X,Y)在D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布,求E(X),E(XY)解:其他,0),(,1),(DyxyxfdxdyyxxfXE),()(dxdyxD1drrd10220cos1=0D22dxdyyxxyfXYE),()(dxdyxyD1drrd10320cossin1=023四、期望的性质1.设c是常数,则E(c)=c2.设k是常数,则E(kX)=kE(X)3.E(XY)=E(X)E(Y)4.X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)24例5设X～B(n,p),求E(X)解:利用性质来求E(X)在成功概率为p的n次独立重复试验中,令不出现次试验中，第出现次试验中，第AiAiXi01则X1,X2,…,Xn相互独立且X=X1+X2+…+Xn服从二项分布25E(Xi)=p(i=1,2,…,n)则niiXEXE1)()(=np上例中把一个较复杂的随机变量拆成n个较简单的随机变量的和,再来求期望26例6将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.解:引入随机变量:MiiiXi,,2,101个盒子中无球若第个盒子中有球若第则X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M.27∵每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,∴对第i个盒子,一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M).故n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n,即:nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP)11(1)()()()()(,,2,1)11(1)()11(1}1{,)11(}0{2121