方程的等量关系

1等量关系问题一、基本问题的等量关系基本问题涉及两类等量关系，即和差与倍比关系。1.和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】若有两数其和为a其差为b求这两数设一数为x，则另一数就为（a–x）那么就列方程：x–(a–x)=b（或设一数为x，则另一数就为（x–b）那么就列方程：x+(x–b)=a【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：1．设甲班有x人，则乙班有（98－x）人，可列方程：x-（98-x）=6（或设甲班有x人，则乙班有（x－6）人，可列方程：x+（x－6）=98）2．设乙班有x人，则甲班有（98－x）人，可列方程：（98-x）-x=6（或设乙班有x人，则甲班有（x+6）人，可列方程：x+（x+6）=98）例2：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？解：1．设甲有x筐则乙有（97－x）筐，可列方程：(x-14)-（97－x+14）=32．设乙有x筐则甲有（97－x）筐，可列方程：（97－x-14）-（x+14）=32.和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】设有两数其和为a一数是另一数的n倍（或n1）求这两数设一数为x，则另一数就为（nx）那么就列方程：x+nx=a（或设一数为x，则另一数就为（nx）那么就列方程：x+nx=a）【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解：1．设杏树有x棵，则桃树有3x棵，可列方程：x+3x=24822．设桃树有x棵，则杏树有31x棵，可列方程：x+31x=248例2：甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？解：设：x天后，则可列方程：2（52－28x）=32+24x3.差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】设有两数其差为a一数是另一数的n倍（或n1）求这两数设一数为x，则另一数就为（nx）那么就列方程：n-xx=a（或设一数为x，则另一数就为（nx）那么就列方程：x-nx=a）【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解：1．设杏树有x棵，则桃树有3x棵，可列方程：3x-x=1242．设桃树有x棵，则杏树有31x棵，可列方程：x-31x=124例2：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？解：设上月盈利x，则本月盈利（2x+12），则可列方程：（2x+12）-x=304.比例问题（倍比问题）【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。若在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量的也叫做归一问题；若先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的数量的也叫做归总问题。【数量关系】若两数之商为定值则一数增减多少倍则另一数也相应增减多少倍。若两数之积为定值则一数增减多少倍那么另一数则减增多少倍。若有ba＝dc的话求abcd之一，则设其一为x，再按公式列方程。如求a，则设a为x，则可列方程：bx＝dc【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。3例1：买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：设需要x元，则可列方程：56.0＝16x例2：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解：设可做x套，则可列方程：791×3.2＝2.8x（1）这批布总共有多少米？例3：修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解：设总长为x由条件知，公路总长不变，则可列方程：31x+300=21x例3：孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解：设x天可以看完，就有24∶36＝x∶15例4：从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解：因为1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2设大儿得9x，则二儿、三儿分别得6x、2x，可列方程：9x+6x+2x=17二、生活中实际问题的等量关系实际问题中遇到的等量关系一般是和差关系与倍比关系的综合运用，只是主次关系不同而已。倍比定值辅以和差类问题，即两等量间（或一等量内）有倍比定值关系，而其中又有一等量内（或两等量内）的某个或某几个量内存有和差定值的数量关系的一类问题。这是以倍比为主、以和差为辅的关系。（一）行程问题【含义】涉及物体运动的问题。【数量关系】基本的数量关系：s=vt路程=速度×时间。行程问题有两种基本形式：相向而行和同向而行。相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。同向而行的公式：追及时间=追及距离÷速度差。【解题关键】要正确的解答有关行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。4运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追击）。运动物体受外力作用的情况，如水流的影响、风的影响等。1．相遇问题【含义】两个运动的物体同时（或不同时）由两地出发相向而行在途中相遇的问题。【数量关系】若同时：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间设两运动物体甲乙从甲乙两地同时出发相向而行，甲乙两地相距s，甲速为V甲、乙速为V乙，t时相遇。则可列方程：S=（V甲+V乙）t(可根据需要选设sV甲V乙t之一为x)若不同时，则在路程中加上或减去相应的里程数。【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。典型例：例：甲乙二人同时从甲乙两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，甲乙两地的距离84千米，甲乙两人经过几小时相遇？解：设x时相遇.，则可列方程：（15+13）x＝84变型例1：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解：⑴设x时相遇.，则可列方程：15x-3=13x+3那么两地距离为：（15x-3）或（13x+3）解：⑵设两地的距离x𝑥−313=𝑥+315(时间相等)例2：甲乙二人同时从甲乙两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，甲乙两地的距离84千米，若乙先行1小时后甲再出发，则甲乙两人经过几小时相遇？解：设x时相遇.，则可列方程：（15+13）x＝84－13×12．追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的一类问题。【数量关系】1．追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）即s=vt追及路程＝（快速－慢速）×追及时间即t=v÷s52．例两运动物体同路同向而行，甲每时走a千米，乙每时走b千米(a＞b)，乙先走m时，甲x时追上乙？则可列方程：mb=(a–b)x【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。典型例好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解：设x天追上，则可列方程：（120－75）x=75×12变型例1：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处同妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解：设x米远，则可列方程：90180x＝60180x(时间相等)例2：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥离妹妹300米远时到了校门口，却发现忘记带课本，立即沿原路回家去取再与妹妹相遇，问从家上学到再与妹妹相遇哥哥共用了多少分钟？解：设用x分钟，则可列方程：则可列方程：60x+90x=300×2例3：两地相距15公里，甲先行15分钟后乙再追赶并与甲同时到达目的地，已知乙的速度是甲的1.5倍，求甲乙的速度各多少？解：设甲的速度为x，则乙的为1.5x，由题意可列方程：x15-x5.115=60153．航行问题【含义】是指与航行有关的问题。【解题关键】解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风速之差。【数量关系】1．航行问题涉及的航程一般是一定的，因此有数量关系：顺水风速度×顺水风航行时间＝逆水风速度×逆水风航行时间顺水风速度＝船机在静水风中航行的速度+水风速逆水风速度＝船机在静水风中航行的速度－水风速2．若航行器静水风速为V静、水风速为V，顺程用时t顺逆程用时t逆，则可列方程：（V静+Vn）t1＝（V静-Vn）t2【解题思路和方法】1．大多数情况可以直接利用数量关系的公式。2．解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风速之差。典型例1：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？解：设需要x小时，则可列方程：（576+２４）x＝3（576–24）变型6例2一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解：设x小时，则可列方程：320÷8－15＝320÷x+15例3一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时,由题意得.2(x+3)=2.5(x-3)x=27答：船在静水中的平均速度为27千米/时。例4从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？等量关系：船行时间－车行时间=3小时解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米依题意得：4．列车问题【含义】这是与列车行驶(比如过桥、错车)有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速火车在桥上或涵洞内的时间＝（车长－桥长）÷车速火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。典型例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥