例题精选

例题精选例1为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~b(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~b(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01或P(XN)0.99的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~b(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01的最小的N.P(XN)kkNkkC3003001300)99.0()01.0(30013!3Nkkken大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似λ下面给出正式求解过程：13!3Nkkke即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得N+19,即N8我们求满足1301.0!3Nkkke的最小的N.,0038.0!393kkke,012.0!383kkke例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，x(1)xx(2)时，F(x)=P(Xx)=1/n,x(2)xx(3)时，F(x)=P(Xx)=2/n,显然，xx(1)时，F(x)=P(Xx)=0,解：将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为：求X的分布函数.x(1)x(2)…x(n)x(k)xx(k+1)时，F(x)=P(Xx)=k/n,xx(n)时，F(x)=P(Xx)=1解：将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为：求X的分布函数.x(1)x(2)…x(n)例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，于是得),,(max,1),,2,1(),,,(min,),,(min,0)(111njnnxxxxknjxxxxnkxxxxF当个不大于恰有中且当当这个结果在数理统计中有用.例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，求X的分布函数.例3设r.vX的密度函数为f(x)其它0,11,12)(2xxxf求F(x).F(x)=P(Xx)=xdttf)(解：求F(x).解：对x-1，F(x)=0xdttdtxF121120)(21arcsin112xxx,11x对对x1，F(x)=1其它,011,12)(2xxxf1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF即试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例4设有函数F(x)其它00sin)(xxxF解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.],2[不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者0)(lim)(xFFxxdttfxF)()(求F(x).其它,021,210,)(~xxxxxfX例5设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0xdtttdt110)2(0x10x21x2xF(x)其它,021,210,)(~xxxxxfX2,121,21210,20,0)(22xxxxxxxxF即1110002xxxxxF,,,)(例6设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4dxxdF)((2)f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.)(xF)(xF其它,010,2xx第二章自测题一．随机变量X具有以下的分布律：X--2023P0.20.20.30.3则2XY的分布律为._____二．已知随机变量X的概率密度为______;,,)(||AxAexfxX系数X的分布函数2_____;)(XYxFX的概率密度._______Y049P0.20.50.35.005.0105.0xexexFxxX02100yeyyyfyY三．设随机变量X服从参数为（2，P）的二项分布，随机变量Y服从参数（3，P）的二项分布，若.____}1{,95}1{YPXP则四．设,3.0)42(),,2(~2XPNX且._____)0(XP则五．设随机变量X的分布律为,,2,1,0,!)()(kkbakXPk其中0,b是已知常数，则.______a27192.0be