概率2-3

概率论第三节随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义分布函数的性质小结布置作业概率论一、分布函数的定义如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的],(x概率.xoxXX设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数,记作F(x).概率论(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.(2)F(x)是r.vX取值不大于x的概率.(3)对任意实数x1x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1Xx2}因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)1x2xoxXXXX请注意:概率论分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(xoxXX概率论当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当0x1时，F(x)=P{Xx}=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解0x12xxXXXkp012131612求X的分布函数F(x).概率论当1x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=316121当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=10x12XxxX概率论故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF概率论31211202161OOO1)(xF的分布函数图xy概率论例2.一袋中有6只乒乓球，编号为1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量X的分布律及分布函数。概率论设离散型r.vX的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=xxkkp即F(x)是X取的诸值xk的概率之和.x一般地则其分布函数概率论二、分布函数的性质,,上是一个不减函数在xF(1);,,,212121xFxFxxxx都有且即对21FxFx1x2xoxXX120PxXxXX概率论如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx(2)xoXxxx()FlimxFxlimxFx()F01概率论试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例2设有函数F(x)其它00sin)(xxxF概率论0a例3在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.概率论0,0(),01,xxFxxaaxa故这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.概率论三、小结在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数,以及分布函数的性质.概率论四、布置作业习题二3,4.