概率3-3二维随机变量函数分布

概率论随机变量相互独立的定义课堂练习小结布置作业第四节相互独立的随机变量概率论两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yYPxXPyYxXP则称X和Y相互独立.一、随机变量相互独立的定义概率论)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X和Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.概率论),(yxf其中是X和Y的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立，则称X和Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.)(),(yfxfYX概率论若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有概率论例1设(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxfyx问X和Y是否独立？二、例题概率论若(X,Y)的概率密度为其它,y,yx,)y,x(f01002情况又怎样？解),1(22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0x10y1由于存在面积不为0的区域，)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立.概率论例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？概率论类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.概率论在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.概率论盒内有个白球,个黑球,有放回地摸球例3两次.nm设1,0,X第1次摸到白球第1次摸到黑球1,0,Y第2次摸到白球第2次摸到黑球试求,XY(1)的联合分布律及边缘分布律;,XY(2)判断的相互独立性;(3)若改为无放回摸球,解上述两个问题.概率论YX01222mnmnnmnjpip222mmnmnmn01mmnnmnnmnmmn,XY(1)的联合分布律及边缘分布律解如下表所示:(2)由上表可知ijijppp,0,1ij,XY故的相互独立.概率论,XY(3)的联合分布律及边缘分布律如下表所示:YX01jpip01nmnmmn11mmmnmnmmnnmn1mnmnmn1mnmnmn11nnmnmn概率论,XY故不是相互独立.由上表知:1(0,0),1mmPXYmnmn0,mPXmn0.mPYmn可见(0,0)00.PXYPXPY概率论这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握.四、小结概率论五、布置作业习题三6,7,11