概率1-6事件的独立

概率论第六节独立性两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结布置作业概率论显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设概率论由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.PABPABPB概率论若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义1定理独立的充要条件为、事件BA0,|0,|APBPABPBPAPBAP或概率论证.先证必要性,由独立定义知独立、设事件BABPAPABP|,0,BPABPBAPBP时当所以BPBPAPAP|,0,APABPABPAP时当或者APBPAPBP:再证充分性,|则有成立设APBAPBPBAPABP|BPAP.,相互独立、事件由定义可知BA概率论例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,概率论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.可见P(A)=P(A|B),即事件A、B独立.则P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13概率论在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）概率论一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.概率论请问：如图的两个事件是独立的吗？AB即若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即概率论设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.概率论=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)BP(A)=P(A-AB)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立B定理2若两事件A、B独立,则BABABA与与与,,也相互独立.证明B=P(A)P()故A与独立B概率论定义,如果满足等式为三事件、、设CBACPBPBCPCPAPACPBPAPABP.为两两独立的事件、、则称三事件CBA,等式两两独立时　、、当事件CBACPBPAPABCP.不一定成立二、多个事件的独立性概率论例如,,,,4321S,,,,3121BA,,41则C,21CPBPAP,BPAP41ACP,并且41ABP,PAPC41BCP.CPBP.两两独立、、即事件CBA但是　41ABCP.　CPBPAP概率论对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.:有限多个事件的情形此定义可以推广到任意概率论定义,,,,21如果对于任意个事件为设nAAAn1,121有等式和任意的的niiinkkkkkiiiiiiAPAPAPAAAP2121.,,,21为相互独立的事件则称nAAA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?概率论对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用,0.90.81和苗率分别为有甲、乙两批种子，出例,求取一粒现从这两批种子中各任;1两粒种子都出苗的概率;2出苗的概率恰好有一粒种子.3概率至少有一粒种子出苗的解子出苗由甲批中取出的一粒种设A子出苗由乙批中取出的一粒种B概率论,两粒种子都出苗且事件相互独立、则事件BA:表示为,AB:表示为恰好有一粒出苗,BABA:表示为至少有一粒种子出苗.BAABP1BPAP;0.720.90.8BABAP2BAPBAPBPAPBPAP.0.260.10.80.90.2BAP3ABPBPAPBPAPBPAP0.90.80.90.8.0.98BAP或者BAP1BAP1BPAP1.0.98概率论BAP或者BABAABPBABAPABP.0.980.260.72,2都每一门击中飞机的概率设有两门高射炮例:,0.6求下列事件的概率是?1中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击99%,2以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空?,炮问至少需要多少门高射击中它解,而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设kAk,6.0,,2,1于是且之间相互独立则kkAPAk211AAP211AAP211AAP概率论211APAP24.01.0.84,2由题知门高射炮设至少需要n21nAAAP121nAAAP121nAAAPnAPAPAP211n4.010.99,01.00.4n,解之得.026.54.0ln01.0lnn即概率论?.4100.0.01;0.95.,3,)3(3:.1003概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例概率论解,,3件音色不纯恰有件随机地取出设iHi.3210,,,i.这批乐器被接收A则AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP其中0HP,3100396CC1HP,142310096CCC2HP,241310096CCC3HP,343100CC概率论0H|AP,0.9931H|AP,0.050.9922H|AP,0.050.9923H|AP.0.053:概率为所以这批乐器被接收的AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP30.993100396CC0.050.992142310096CCC22410.050.99310096CCC0.053343100CC.0.8629概率论例4三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解将三人编号为1，2，3，所求为记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3123PAAA已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/41231231PAAAPAAA概率论12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]6.053433254131231231PAAAPAAA概率论例5下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0概率论解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有其中P(W)0.782代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0PWPAPBPCDEPFGPH1PBCDPBPCPD0.9731PFGPFPG0.9735概率论例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设A={飞机被击落}Bi={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式则A=B1A+B2A+B3A解依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)概率论可求得为求P(Bi),设Hi={飞机被第i个人击中},i=1,2,3将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.1123123123PBPHHHHHHHHH2123123123PBPHHHHHHHHH3123PBPHHH概率论P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.于是概率论四、小结这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.概率论习题一20，21五、布置作业