第4章-数字特征

概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/141第一节数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质课堂练习小结布置作业概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/142在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/143因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/144一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：我们来看一个引例.例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/145若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;27.1100213100172100301100320可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出现三件废品）概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/146可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/147这是以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为32103210pppp这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/148定义1设X是离散型随机变量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。1)(kkkpxXE若级数1kkkpx绝对收敛，则称级数1kkkpx)(XE即的和为随机变量X的数学期望，记为,概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/149例1,,21XX所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为01200.20.80120.60.30.11Xkp2Xkp的数学期望，和解：我们先来算21XX分）分）(5.01.023.016.00)((8.18.022.0100)(21XEXE概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1410).(),(~XEX求设例20,,2,1,0,!}{kkekXPXk的分布率为解)()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即的数学期望为概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1411到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.课堂练习按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1412其分布率为以分计为解：设旅客的候车时间),(XX1030507090kp63626161636162616361)()()(}70{BPAPABPXP上表中例如的数学期望为候车时间到站第二班车为事件到站第一班车为事件其中XBA.30:9,10:8分22.2736290363703615062306310)(XE概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1413二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0x1x2…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为iixxf)())((1iiixxxf概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1414由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.iiiixxfx)(这正是dxxfx)(的渐近和式.近似,iixxf)(因此X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为iixxf)(概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1415由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即dxxfxXE)()(请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1416).(),,(~XEbaUX求设例4其它的概率密度为解01)(bxaabxfXbabadxabxdxxxfXEX2)()(的数学期望为.),(的中点即数学期望位于区间ba概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1417例5其概率密度为服从同一指数分布它们的寿命装置个相互独立工作的电子有,)2,1(,2kXk0,00,01)(xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.0001)()2,1(xxexFkXxk的分布函数为解概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/141812min(,)NXX0001)](1[1)(22minxxexFxFx0002)(2minxxexfNx的概率密度为于是22)()(02mindxexdxxxfNEx的分布函数为概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1419三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1420那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1421(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;绝对收敛，则有若1)(),,2,1(kkkpxgk(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若绝对收敛，则有dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1422连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()]([)(1该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1423上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。))(,(,是连续函数的函数是随机变量设gYXgZYXZ则是一维随机变量,Z则有概率密度为是二维连续型若),,(,),()1(yxfYXdxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1424.积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的则有概率分布为是二维离散型若)2,1,(},{,),()2(jipyYxXPYXijji11),()],([)(jikjipyxgYXgEZE概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1425例6密度即具有概率上服从均匀分布在设风速,),0(aV其它001)(avavf.),,0(:2的数学期望求常数的函数是压力又设飞机机翼受到的正WkkVWVW2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa解：由上面的公式概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1426其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量020)sin(),(,xyxAyxfYX例7：).(),()2(,)1(XYEXEA求求系数211)sin(),(2/02/0AdxyxAdydxdyyxf，得）由于解：（1概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1427其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量020)sin(),(,xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求系数4)sin(2122/02/0dxdyyxxXE）（）解（12)sin(21),()(2/02/0dxdyyxxydxdyyxxyfXYE概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1428四、数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(][:推广niiniiXEXE11)(][:推广（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1429。和来证性质请同学自己证明，我们，性质4321于是有概率密度为其边缘）的概率密度设二维随机变量（证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得证。性质3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1430,,相互独立又若YX.4)()()()(),()(得证性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1431五、数学期望性质的应用例8求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.概率论华东交通大学基础科学学院－胡新根2008/7/1432可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=np