2016年北京高考数学(理科)真题试卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2Axx，10123B，，，，，则AB（A）01，（B）012，，（C）101，，（D）1012，，，2.若x，y满足2030xyxyx≤，≤，≥，则2xy的最大值为（A）0（B）3（C）4（D）53.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）44．设a,b是向量，则“ab”是“abab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5．已知xyR，，且0xy，则（A）110xy（B）sinsin0xy（C）11022xy（D）lnln0xy否是k=k+1结束输出ka=ba=-11+ak=0，b=a输入a开始6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）16（B）13（C）12（D）17．将函数πsin23yx图象上的点π4Pt，向左平移0ss个单位长度得到点P．若P位于函数sin2yx的图象上，则（A）12t，s的最小值为π6（B）32t，s的最小值为π6（C）12t，s的最小值为π3（D）32t，s的最小值为π38．袋中装有偶数个数，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设aR．若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点位于实轴上，则a．10．在6(12)x的展开式中，2x的系数为．（用数字作答）11．在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于A，B两点，则AB．12．已知na为等差数列，nS为其前n项和．若16a，350aa，则6S．13．双曲线22221xyab(00)ab，的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a．14．设函数33()2.xxxafxxxa，，，≤①若0a，则()fx的最大值为；②若()fx无最大值，则实数a的取值范围是．1111正(主)视图侧(左)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）在ABC△中，2222acbac．（Ⅰ）求B∠的大小；（Ⅱ）求2coscosAC的最大值．16．（本小题13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小．（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD,ABAD⊥，1AB，2AD，5ACCD．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使BM∥平面PCD，若存在，求AMAP的值，若不存在，说明理由．DCBAP18．（本小题13分）设函数()eaxfxxbx．曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为(e1)4yx．（Ⅰ）求a,b的值（Ⅱ）求()fx的单调区间.19．（本小题14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为32．(0)Aa，，(0)Bb，，(00)O，,AOB△的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：ANBM为定值．20.（本小题13分）设数列12:2NAaaaN≥，，…，，如果对小于2nnN≤≤的每个正整数k都有knaa，则称n是数列A的一个“G时刻”，记GA是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列:A2，2，1，1，3．写出GA的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A存在na使得1naa，则GA；（Ⅲ）证明：若数列A满足11nnaa≤（2,3,nN），则GA的元素个数不小于1Naa.