线性代数(完整版)

线性代数复习题一、选择题1、课本P44第5题四元素乘积243241kiaaaa是四阶行列式ija（i,j=1,2,3,4）中的一项，i,k的取值及该项前应冠以的符号，有下列四种可能情况：（1）i=3，k=1，前面冠以正号(2)i=3,k=1,前面冠以负号（3）i=1,k=3,前面冠以正号（4）i=1.k=3,前面冠以负号选项正确的是（C）A、1.3正确B、1.4正确C、2.3正确D、2.4正确解：当i=3,k=1时，N(3241)+N(1432)=4+3=7,该项前面冠以负号当i=1,k=3时，N(1243)+N(1432)=1+3=4,该项前面冠以正号故选择C2、课本P44第7题下列选项中不属于五阶行列式ija（i,j=1,2…5）中的一项的是（C）A、5445322311aaaaaB、2534431251aaaaaC、4521345213aaaaaD、1122334455aaaaa解：选项C中，N(15324)+N(32415)=4+4=8，前面应该冠以正号，而选项中是负号，故不属于五阶行列式中的一项3、3、课本P45第9题若行列式D=,1333231232221131211aaaaaaaaa则行列式3332313123222121131211111324324324aaaaaaaaaaaaD=（A）A、-12B、12C、-24D、24解：333231232221131211333231232221131111333231312322212113121111343434242424324324324aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=333231232221131211)3(*40aaaaaaaaa=（—12）*1=—124、课本P45第9题设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa，则行列式313332313121231221211113121111423312693423aaaaaaaaaaaaaaa=（B）A、12DB、24DC、-24DD、36D解：313332313121231221211113121111423312693423aaaaaaaaaaaaaaa=—3313332313121231221211113121111423423423aaaaaaaaaaaaaaa=—3（313331312123212111131111434343aaaaaaaaaaaa+313332312123122111131211424242aaaaaaaaaaaa）=—3313332312123122111131211424242aaaaaaaaaaaa=（-3）*（-2）313332312123122111131211444aaaaaaaaaaaa=6313332312123122111131211444aaaaaaaaaaaa=6（333231231221131211444aaaaaaaaa+313231211221111211aaaaaaaaa）=6333231231221131211444aaaaaaaaa=6*4333231231221131211aaaaaaaaa=24D，故选择B5、课本P46第12题设aa00100200001000=—1，则a=(A)A、—1/2B、1/2C、—1D、1解：aa00100200001000=1*41)1(00200100a=（—1）*（—2a）=2a=—1,则a=—1/2,选择答案A6、课本P46第14题8765432100000000aaaaaaaa中的7a的代数余子式为（B）A、542632aaaaaaB、632542aaaaaaC、542631aaaaaaD、854863aaaaaa解：7a的代数余子式为0000)1(6543241aaaaa=-（542632aaaaaa）=632542aaaaaa，选择B7、课本P47第17题行列式vudcyxba00000000=（C）A、abcd-xyuvB、adxv-bcyuC、（ad-bc）（xv-yu）D、（ab-cd）（xy-uv）解：vudcyxba00000000=a*vudyx0000)1(11+c*vuyxb0000)1(31=a（xdv-ydu）+c（byu-bxv）=ad（xv-yu）+bc（yu-xv）=（ad-bc）（xv-yu），选择答案C8、课本P48第23题若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k必须满足（D）A、k=4B、k=—1C、k≠—1且k≠4D、k=—1或k=4解：1111112kkD=1111211kk=kkkk1103120112=kkk11312)1(211=（-2k-1）(1+k)-3(1-k²)=（1+k）(k-4)由于齐次线性方程组有非零解，所以D=0，即（1+k）(k-4)=0,解得k=-1或者k=4,选D9、课本P48第24题若第8题中的齐次线性方程组仅有零解，则K必须满足（C）A、k=4B、k=—1C、k≠—1且k≠4D、k≠—1或k≠4解：由于齐次线性方程组仅有零解，则D≠0，所以（1+k）(k-4)≠0，解得k≠—1且k≠4，选C10、课本P105第1题有矩阵2*33*22*3,,CBA,下列矩阵运算可行的是（B）A、ACB、ABCC、BACD、AB-BC解：只有左边矩阵的列数与右边矩阵的行数一样，两者才可以相乘，如3*22*3*BA是可以相乘的，但是2*32*3*CA不可以相乘的。11、课本P105第7题设C是m*n矩阵，若有矩阵A、B,使得BCACT,则A的行数*列数为（B）A、m*nB、n*mC、m*mD、n*n解：C是m*n矩阵，则TC是n*m矩阵设A为x行，y列矩阵，B为z行，w列矩阵那么wzmnnmyxBCCA******由于矩阵A可以左乘矩阵C，那么可以得出y=m假设nxnmyxDCA****，wnwzmnEBC****∵nxD*=wnE*∴x=n可见，A是一个n行，m列的矩阵，选择答案B。12、（必考）课本P107第18题设A、B、C均为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，且ABC=I，则下列矩阵乘积一定等于I的是（C）A、ACBB、BACC、CABD、CBA解：∵ABC=I∴AB是C的逆矩阵，或者BC是A的逆矩阵我们知道矩阵左乘或者右乘逆矩阵，乘积都为I即CAB=I,或者BCA=I，所以选择答案C13、课本P108第26题已知矩阵112124112aA，且R（A）=2,则a≠（A）A、1B、—1C、0D、2解：112124112aA=000124112a，要使R（A）=2，必须1121a，则a≠1，选择A14、课本P108第27题设m*n矩阵A的秩等于n，则必有（D）A、m=nB、m＜nC、m＞nD、m≥n解：只有当m≥n的情况下，矩阵A的秩等于n15、课本P164第1题)1)(3()1(32213332321xxxxxxx有唯一解，则=（C）A、1或2B、-1或3C、1或3D、-1或-3解：(A·B)=)1)(3(100310021201111因为方程组有唯一解，那么r（A）=r(A·B)=n=3所以1)-1)(-(3-1)-(1解得=1或者3，选择答案C16、课本P164第2题如果线性方程组)2()4)(3((23123232321xxxxxxx有无穷多解，则=（A）A、3B、2C、1D、0解：(A·B)=)2()4)(3(1021301121因为线性方程组有无穷多接，那么r（A）=r(A·B)＜n=3所以2)-(4)-3)(-(2-3，解得=3或5，选择答案A17、课本P164第3题如果线性方程组)4)(3()2)(1(2242332321xxxxxx无解，则=（B）A、3或4B、1或2C、1或3D、2或4解：(A·B)=)4)(3()2)(1(0022104121应为线性方程组无解，那么那么r（A）＜r(A·B)所以0)4)(3(0)2)(1(解得=1或2，选择答案B18、（必考）课本P165第10题已知向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321ataa的秩为2，则t=（A）A、3B、-3C、2D、-2解：20151402021t=220520440021t=000520110021t因为向量组的秩为2，那么5121t，解得t=3，选择答案A二、填空题1、课本P37第13题（3）1000*)2809234215(10002809210003421529092280923521534215=61230002、已知四阶行列式D中的第三列元素依次为-1,2,0,1，它们的余子式依次分别是为5,3，-7,4，求D=（-15）解：154*)1(*103*)1(*25*)1(*)1(432313D3、（课本95页第3题）设yxA70，2yvuB，vxC43，且A+2B-C=0，求x，y，u，v的值解：因为A+2B-C=0所以00004274232vyxyvux解得x=-5，y=-6，u=4，v=-24、（课本95页第4题）设1201A，0311B，1101C，1001I，且IcCbBaA,求a，b，c的值解：IcCbBaA所以100132cacbabcba，解得a=1/3，b=0，c=-2/35、（课本99页第20题）设A为三阶矩阵，若已知mA，求mA。解：43)(mAmmA6、（课本99页第21题）设A为n阶矩阵，若已知mA，求TAA2.解：11*2222nnnnnnTmAAAAA7、（课本99页第23题）已知4132A，0110B，求1110ABB解：B*B=B²=I10010110*0110IBB5210)(BBBB*1011所以，14230110*41321110ABIABABB8、（课本102页第52题）设A、B为三阶矩阵，且3,2BA,求11)(2BAT解：11113111*81*8)()2()(2BABABABATTTT=31*21*81*1*8BA=-129、（课本159，第4题）已知向量)0,2,5,1(),9,7,5,3(（1）如果求,（2）如果，求523解：（1）），，（）（），（95,04,5,7,93,02,51（2）523)227,211,5,7()35(2110、（课本159页第5题）已知向量。)1,1,1,4(),10,5,1,10(),3,1,5,2(321aaa求（如果),(5)(2)3321aaa解：)(5)(2)3321