7.5多边形内角和与外角和模型专题

1多边形内角和与外角和专题训练（模型）【模型一】“A字”模型求证：∠1+∠2=180°+∠A证法一：连接BC，利用“三角形内和为180°”.证法二：连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”.证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.证法四：延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”.CABDE21CABDE21CABDE2134CABDE213F2【模型二】飞镖模型求证：∠A+∠B+∠C=∠D证法一、证明：连接BC，证法二、连接并延长AD，证法三、连接并延长BD，交AC于点E,【模型三】“8字”模型求证：∠A+∠B=∠C+∠D证法一、利用“三角形内角和为180°”证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”ABCDOABCD12ABCD1234ABCD1EABCDO13注意：“8字”模型的变式.如图，∠1+∠2=∠C+∠D【模型四】“五角星”模型求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°【模型五】“角平分线”模型1、两条内角平分线已知：如图，∠B、∠C的平分线BP、CP交于点P求证：∠BPC=90°+21∠A2、两条外角平分线已知：如图，∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P求证：∠P=90°-21∠AABCP12PABC12EFDABOC12CDEAB43、一条内角平分线和一条外角平分线已知：如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P求证：∠P=21∠A【模型六】“高线角平分线”模型求证：∠DCE=21（∠B-∠A）.（其中∠B∠A）【模型七】“折角”模型求证：∠1+∠2=2∠A求证：∠2-∠1=2∠A求证：∠1-∠2=2∠APABC12DCABDEABCMNA’21MBA’23DC1NAABCMNA’123D5【直接运用】在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性.1.☆如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则∠ACD=°2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A=°3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D=°4.☆如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC=°5.☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，则∠A=°6.☆如图，若∠A=40°，则∠P=°7.☆如图，△ABC中，CD⊥AB，CE平分∠ACB，∠B=50°，∠A=20°,则∠DCE=°8.☆如图，纸片△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C点落在△ABC内的C’处，则∠1+∠2=°9.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°10.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D=°11.☆☆如图，BE、CF交于点O，∠EOF=105°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.12.☆☆如图，∠ABD与∠ACB的角平分线相交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P=°.ABCD第1题AFBCFDF12第2题DABOC12第3题ABCD12第4题ABCPCDEAB第5题第6题CABDE第7题2CABC’1第8题ABCDEFG第9题ABCD120°100°第10题ABCDP第12题ABC105°ODEF第11题6【过程重现】在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择.1.☆☆如图，在∠AMB的两边AM、BM上分别取点P、Q，在∠AMB内取一点N，连接PN、QN，探索∠PNQ、∠AMB、∠MPN、∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论.2.☆☆如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线PM、PN上，∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P.点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？请说明你的理由.3.☆☆如图，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于点O，CE平分∠DCG.若∠ACE=90°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由.ABNOMPABCDEFAMBAMBAMB74.☆☆在△ABC中，内角∠ABC、∠ACB的平分线夹角为α，外角∠DBC、∠ECB的平分线夹角为β.（1）若α=110°，则∠A=°，（2）若∠A=40°，则β=°，（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.【探索新知】在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程.1.☆☆如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4=°；如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°；如图③，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.2.☆☆（1）如图（1）,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠FJ=°；（2）如图（2），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠HJ=°；（3）如图（3），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=°.3.☆☆☆已知：如图，在△ABC中，BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线.（1）当∠A=60°时，∠BO2C=°；（2）探索∠BO1C与∠BO2C之间的数量关系，并证明你的结论.512341234612354①②③ABCDEFHHGFEDCBFAFABCDEGHIJF(1)(2)(3)ABCO1O2DABCEPO84.☆☆☆已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E.（1）若∠D=140°，∠E=110°，则∠A°；（2）求证：∠E=21（∠A+∠D）5.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字形”.（1）如图（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系；（2）如图（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，∠D=46°，∠B=30°.先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P的度数；（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示).6.☆☆☆☆如图，在△ABC中，将点A向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图（1）、图（2）、图（3）中∠EAD、∠B、∠C、∠D与∠E之间有什么数量关系？ABCEDABCABCDEABCDEABCDE（1）（2）（3）ADBCOPMNADBCO（2）（1）97.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O.将图（1）中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可以得到图（2）、图（3）、图（4）.分别探究图（2）、图（3）、图（4）中∠A、∠B、∠C、∠D与∠AED之间有什么数量关系？8.☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.（1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若将图（1）中的星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再将图（2）中角进一步截去，如图（2），你能由题（2）中的方法或规律，猜想出图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数？（直接写出结果，不需要写出解题过程）CDEABAFBFCFDFEFFFGFAFBFCFDFEFFFHFIJ（1）（2）（3）ADBCOABCDEOADCBEOABCDOE（2）（3）（4）（1）1010.☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD中，内角∠ABC的角平分线与外角∠DCE的角平分线交于点F，且∠F为锐角.设∠A=α，∠D=β.（1）如图①，α+β180°，试用α、β表示∠F；（2）如图②，α+β180°，请在图中画出∠F，并试用α、β表示∠F；（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F.9.☆☆☆☆☆如图①，把三角形纸片ABC折叠，使3个顶点重合于点P，这时∠α+∠β+∠γ=°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.如果三角形纸片ABC折叠后，3个顶点并不重合于点P（如图②），那么（1）中关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明理由.ABCDEF①ABCDE②G12ABCDEFHI3456αβγPA’B’C’ABCDEFGIH1236544①②