梅州市2011年中考数学试题及答案

2011年梅州市中考数学试题第1页共4页梅州市2011年初中毕业生学业考试数学试卷说明：本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟．参考公式：抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是424bacbaa，．一、选择题：每小题3分，共15分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的.（2011中考）1．12的倒数是（）A．-2B．2C．12D．12（2011中考）2．下列各式运算正确的是（）A．532aaaB．532aaaC．3332)(baabD．5210aaa（2011中考）3．下面是空心圆柱在指定方向上的视图,正确的是（）（2011中考）4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．菱形（2011中考）5．我市五月份连续五天的最高气温分别为23、20、20、21、26(单位：℃),这组数据的中位数和众数分别是（）A．22，26B．22，20C．21，26D．21，20二、填空题:每小题3分,共24分.（2011中考）6．4的算术平方根是．（2011中考）7．分解因式：mbma．（2011中考）8．函数11yx的自变量的取值范围是．（2011中考）9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，则摸到黄球的概率是．（2011中考）10．市统计局发布的《梅州市2010年第六次全国人口普查主要数据公报》显示，全市2010年11月1日零时普查登记的常住人口约为4200000人，这个数字用科学记数法表示为人．（2011中考）11．如图1，在Rt△ABC中,∠B=90°，ED是AC的垂直平分线,交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=30°，则∠C的度数为°．（2011中考）12．如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．（2011中考）13．凸n边形的对角线的条数记作na(n≥4)，例如：24a，那么：①5a；②56aa=；③nnaa1．（n≥4,用含n的代数式表示）三、解答下列各题：本题有10小题，共81分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.（2011中考）14．本题满分7分．计算：30cos3)31()2011(|3|10．（2011中考）15．本题满分7分．化简：)41()()(22bababa．（2011中考）16．本题满分7分．王老师对东艺中学九（一）班的某次数学模拟考试成绩进行统计后，绘制了频数分布直方图（如图3，分数取正整数，满分120分）．根据图形，回答下列问题：（直接填写结果）（1）该班有名学生；（2）89.5~99.5这一组的频数是，频率是；2011年梅州市中考数学试题第2页共4页（3）估算该班这次数学模拟考试的平均成绩是分.（2011中考）17．本题满分7分．如图4，在平面直角坐标系中，点A（-4，4），点B（-4，0），将△ABO绕原点O按顺时针方向旋转135°得到△A1B1O．回答下列问题：（直接写结果）（1）∠AOB=°；（2）顶点A从开始到A1经过的路径长为；（3）点B1的坐标为。（2011中考）18．本题满分8分．如图5，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．（2011中考）19．本题满分8分．如图6，反比例函数)0(1xxmy的图像与一次函数bxy2的图象交于点A、B，其中A(1，2)．(1)求m，b的值；(2)求点B的坐标，并写出12yy时，x的取值范围．（2011中考）20．本题满分8分．为了鼓励城区居民节约用水，某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度=1米3)，水费为a元/度；超过20度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度．已知某用户四份用水15度，交水费22.5元，五月份用水30度，交水费50元．(1)求a，b的值；（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于．．．60．．元．，但不超过．．．．90．．元．，求该用户六月份的用水量x（度）的取值范围．（2011中考）21．本题满分8分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图7，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；(2)当AB＝4时,求此梯形的面积．（2011中考）22．本题满分11分．如图8，已知抛物线342xxy与x轴交于两点A、B，其顶点为C．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2011中考）23．本题满分10分．如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写出结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）2011年梅州市中考数学试题第3页共4页梅州市2011年初中毕业生学业考试数学试卷参考答案与评分意见一、选择题：每小题3分，共15分。每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的。1、A；2、B；3、C；4、D；5、D二、填空题：每小题3分，共15分。6、2．7、()mab．8、x≠1的实数．9、53．10、4.2×106．11、30．12、16π．13、①5（1分）；②4（1分）；③n－1（1分）．三、解答题：本题有10小题，共81分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。14．本题满分7分．解：原式＝331332……………………………4分．＝312＝12……………………………7分15．本题满分7分．解：原式＝22222(2)(14)aabbaabbab……………………………4分＝2222224aabbaabbab……………………………6分＝a……………………………7分16．本题满分7分．⑴40；……………………………2分⑵8，0.2；……………………………5分⑶88（或87.5）．……………………………7分17.本题满分7分．⑴45；……………………………3分⑵32；……………………………5分⑶(22,22)．……………………………7分18.本题满分8分．⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴//,ABCD∴QDCC．…………………2分又,DQPBPC∴△DQP∽△CBP．………………4分⑵当△DQP≌△CBP时，PQPB，所以P是QB的中点．……6分又//DPAB，所以DP是△ABQ的中位线．所以142DPAB．…………8分解法二：∵△DQP≌△CBP∴12DPCPDC．…………6分∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD．∴142DPAB．…………8分19.本题满分8分．解：⑴由点(1,2)A在1myx的图象上，可得2m．……………………………2分由点(1,2)A在2yxb的图象上，可得3b．……………………………4分⑵因为A，B是两个函数图象的交点，由12yy，得23xx，即2320xx，解得：121,2xx．所以(2,1)B．……………………………6分由图象可得，当21yy时，12x．……………………………8分20.本题满分8分．解：⑴依题意可得1522.5201050aab……………………………2分解得：1.5,2ab．……………………………4分⑵依题意可得201.5(20)260201.5(20)290xx……………………………6分解得：3550x．所以该用户六月份用水量X（度）的取值范围是3550x……………………8分21.本题满分8分．⑴解：点C在以AB为直径的圆上．……………………………1分∵将△ABC沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合，∴,DACBAC且1.2ADAMAB……………………………2分又//,ABCD∴,DCABAC∴,DACDCA∴ADDCBC.……………3分连接CM，则有//,.DCAMDCAM∴四边形ADCM是平行四边形，∴ADCM．………4分2011年梅州市中考数学试题第4页共4页CAQPMDB∴CMAMBM∴点C在以AB为直径的圆上．……………………………5分（本题有多种方法，请参照此标准评分）⑵由⑴知，2,90.ABBCBCA所以2BC，224223.AC得S△ABC＝23.……………………6分又2,//,ABCDABCD所以S△ADC＝12S△ABC＝3.………7分∴梯形ABCD的面积为33.…………………8分（本题有多种方法，请参照此标准评分）22.本题满分11分．解：⑴若点M在该抛物线上，则有2243mm，即2450mm．因为22444540bac所以方程2450mm无实数解……………2分所以对任意实数m，点(,2)Mm不在该抛物线上．…3分（注：也可由2243(2)11yxxx说明）⑵由2243(2)1yxxx，可得(2,1)C.令0y,得2430xx.解得121,3.xx所以(1,0),(3,0).AB…………………………5分该抛物线的对称轴为直线2x。它与X轴的交点为(2,0)E．可知1,90.AEEBECAEC所以△ABC是等腰直角三角形．……………………………7分（本题有多种方法，请参照此标准评分）⑶由⑵知，(2,1)C．当四边形以BD为对角线时，设(,1)Px．……………………………8分①过点P作BC的平行线（如图）交x轴与点D，连接CD、PB，作PFx轴于点F．∵//BCPD，由⑵知45,DBC∴45.PDF又1PF，所以2PD．由⑵知2BC，∴BCPD，所以四边形BCDP是平行四边形．……………………9分由于点P在该抛物线上，将(,1)Px代入243yxx，得2431xx，解得1222,22.xx∴此时P点有两点，即12(22,1),(22,1).PP……………………………11分②当四边形以CD或CB为一对角线时，此时BD是四边形的一边．若此四边形是平行四边形，则//.CPBD但过点C且与x轴平行的直线与抛物线仅有一个交点C，所以此时点P不存在．由上可知抛物线上存在点12(22,1),(22,1),PP使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．23.本题满分10分．解：⑴APa……………………………3分⑵不变，60．……………………………4分证明：设AD与CP相交于点M。∵正△APC和正△PBD,∴,.APCPPDPB60,60,APDCPDCPBCPD∴APDCPB∴△APD≌△CPB.∴DAPPCB…………………6分60,.CMADAPDMPPCB,60.CMADMPDAPPCB∴60.……………………………8分⑶不变．……………………………10分OAECDBFxy