离散周期信号的傅里叶级数-讲义

第七章离散周期信号的傅里叶级数陆超清华大学电机系2016年春季学期课程的主要内容1.基本概念2.线性时不变连续时间系统的时域分析3.线性时不变离散时间系统的时域分析4.连续周期信号的傅立叶级数5.连续信号的傅立叶变换6.连续信号的拉普拉斯变换7.离散周期信号的傅立叶级数DFS8.离散非周期信号的傅立叶变换DTFT9.离散信号的Z变换10.离散傅立叶变换DFT和快速傅立叶变换FFT11.模拟和数字滤波器的基本知识《信号与系统》，清华大学电机系陆超2本章的主要内容•离散周期信号的傅里叶级数–离散信号的正交分解–正交离散复指数函数集–离散傅里叶级数•离散和连续周期信号傅里叶级数的关系–离散和连续周期信号傅里叶级数–误差分析《信号与系统》，清华大学电机系陆超3离散信号的正交分解两个离散函数φdi(n)和φdj(n)，如果在长度为N的离散时间区间n0≤n≤n0+N-1内用函数cφdj(n)近似地表示φdi(n)：对其差定义均方误差：误差最小时：()()didjncn001221()()nNdidjnnncnN0000112()()()nNdidjnnnNdjnnnncn投影、分量《信号与系统》，清华大学电机系陆超4内积的定义：两个离散函数φdi(n)和φdj(n)，在长度为N的离散时间区间n0≤n≤n0+N-1上的内积为：离散信号的投影或分量：离散函数的内积描述了两个函数在给定区间的相似性，当两个函数在给定区间正交时，它们的内积为零。对比连续信号情况：001(),()()()nNdidjdidjnnnnnn(),()(),()didjdjdjnncnn21(),()()()dtijijtttttt《信号与系统》，清华大学电机系陆超5正交函数集：设有一组离散函数φd1(n),φd2(n),…,φdk(n)，如果这组函数在区间n0≤n≤n0+N-1内满足：完备正交函数集：除上述函数组外，不再存在非零函数φd(k+1)(n)，满足：规范化的完备正交集：0(),()didjinnAijij,1,2,3,,ijK(1)(),()0didknn1,2,,iK(),()1didiinnA1,2,,iK《信号与系统》，清华大学电机系陆超6如果信号xd(n)在离散区间n0≤n≤n0+N-1内绝对可和，则在该区间内可表示为相应完备正交函数集的各分量的线性组合：在完备正交分解情况下，离散信号的能量满足关系：11221()()()()()dddKdKKkdkkxncncncncn001nnnN0000112221()()nNnNKdkdknnknnxncn《信号与系统》，清华大学电机系陆超7正交离散复指数函数集离散复指数函数集：其中n表示离散点的序号，k表示函数集元素的序号，θ1=2π/N1为基本角频率，N1为基本周期。此函数集中的每个元素都是n的周期函数，第k个元素的离散角频率为kθ1=2πk/N1周期重复性：eeee1111222()2jkNnjknjknNNNjnee111()jkNnjknee1112()()11cossinjknNjknjkneknjknN1个互不相同的元素《信号与系统》，清华大学电机系陆超8复指数函数可分解为余弦函数和正弦函数，以余弦函数为例说明离散复指数信号随离散角频率增大而周期重复的现象。对连续余弦信号进行数值抽样得离散余弦信号：其中k表示谐波系数，基波周期T1=2π/ω1。以Ts=T1/8的抽样间隔对这组连续周期信号进行数值抽样，即一个基波周期抽样8点，得：即研究的周期性1()cosakftkt0,1,2,3,k1()coscosdkskfnknTn14kskTkcos4kn《信号与系统》，清华大学电机系陆超9《信号与系统》，清华大学电机系陆超10•离散余弦序列：离散正弦序列：离散复指数序列：•完备正交离散函数集：在离散区间n0≤n≤n0+N-1内cos(2)cosnmnsin(2)sinnmnee(2)jnmjneee01111211201(),nNjknjknjkknnn10N121121kkmNkkmN《信号与系统》，清华大学电机系陆超11离散傅里叶级数•根据正交分解原理，给定任意离散周期信号xd(n)，周期N1，如果xd(n)在其一个周期上绝对可和，则：•正变换：逆变换：e1110()()NjknddkxnXk112Neee,e101111011(),1()()jknnNdjknddjknjknnnxnXkxnNDFSe1110()()()NjkndddnXkxnxnIDFSe111011()()()NjkndddkxnXkXkN《信号与系统》，清华大学电机系陆超12[例]求下图所示离散周期矩形信号的傅立叶级数[解]离散信号周期N1=15，其傅里叶级数的系数：由此计算一个周期的值：e214150()()jknddnXkxn(0)5.00dX(1)4.17dX(2)2.13dX(3)0.00dX(4)1.17dX(5)1.00dX(6)0.00dX(7)0.87dX(8)0.87dX(9)0.00dX(10)1.00dX(11)1.17dX(12)0.00dX(13)2.13dX(14)4.17dX《信号与系统》，清华大学电机系陆超13根据离散傅里叶级数逆变换，有：IDFSeeeeeeeeeee1110124810142151515151516202226281515151515()()1()1(54.172.131.170.87150.871.172.134.17)224(2.54.17cos2.13cos1515ddNjkndkjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnxnXkXkNn1582141.17coscos0.87cos)15315nnnn《信号与系统》，清华大学电机系陆超14离散傅里叶级数的特点•时域周期，频域离散；•时域离散，频域周期：周期也为N1，源自正交函数集元素的周期性；•Xd(k)是周期的，有无穷个分量，k=0,±1,±2，…，但其中只有N1个满足正交性分解；•奇偶虚实性：•频谱特性：11111100()()cos()sinNNdddnnXkxnknjxnkne()()()djkddXkXk《信号与系统》，清华大学电机系陆超15离散和连续周期信号傅里叶级数•为什么要研究这两者间的关系？•连续周期信号xa(t)的傅里叶级数：ed11111()()jktagaTXkxttT0,1,2,k《信号与系统》，清华大学电机系陆超16回顾：一般周期信号的傅里叶变换给定周期信号fp(t)，周期T1，角频率ω1，fp(t)可展开为傅立叶级数对上式取傅里叶变换，有11e2()jktkF11()()ejktpgpkftFk1111()()e()ejktjktpgpgpkkftFkFkFFF11()()2()()ppgpkFftFkkF《信号与系统》，清华大学电机系陆超17•连续周期信号xa(t)的傅里叶变换：•离散周期信号xd(n)的离散傅里叶级数：周期T1内N1个抽样点，满足完整周期抽样11()2()()aagkXXkk()()dasxnxnT()DFSe1110()()NjkndgddnXkxnxn0,1,2,k《信号与系统》，清华大学电机系陆超18以xa(t)的冲激脉冲抽样信号及其变换为“中介”()()dasxnxnT()e1110()NjkndgdnXkxn《信号与系统》，清华大学电机系陆超19•冲激序列及其傅里叶变换：•冲激脉冲抽样信号：()()apasnttnT()()apsasmΔm()()()()()()()asaapasasndasnxtxttxnTtnTxntnT《信号与系统》，清华大学电机系陆超20•冲激脉冲抽样信号的傅里叶级数：edede11111111110121011()()1()()1()jktasgasTNjktdasTnNjknNdnXkxttTxntnTtTxnT()e1110()NjkndgdnXkxn《信号与系统》，清华大学电机系陆超21•冲激脉冲抽样信号的傅里叶变换根据频域卷积定理：1()()()21()()21()asaapasasmasmsXXΔXmXmT《信号与系统》，清华大学电机系陆超22•冲激脉冲抽样信号的傅里叶变换是原信号傅里叶变换的周期延拓•冲激脉冲抽样信号的傅里叶级数也是原信号傅里叶级数的周期延拓•离散信号xd(n)的傅里叶级数是连续信号xa(t)的傅里叶级数的周期延拓1()()asasmsXXmT111()()asgagsmsXkXkmT111()()asgdgXkXkT11()()dgagsmXkNXkm《信号与系统》，清华大学电机系陆超23如果xa(t)频率有限，最高频率Kω1，并且抽样过程满足抽样定理ωs2Kω1，则延拓过程不产生混叠。在此情况下，截取Xdg(k)的一个周期，它和Xag(kω1)的关系为:对连续周期信号xa(t)进行抽样，得离散序列xd(n)，如果满足完整周期抽样，一个周期抽样整数N1个点，并且满足抽样定理，则连续信号的傅立叶级数Xag(kω1)可由xd(n)的离散傅立叶级数Xdg(k)准确表示。Xdg(k)是一个周期序列，周期为N1，截取其一个周期的值，它们与Xag(kω1)相差系数1/N111()()dgagsmXkNXkm111()()agdgXkXkN0,1,2,mkk《信号与系统》，清华大学电机系陆超24连续周期信号的傅里叶级数连续周期信号的傅里叶变换离散周期信号的傅里叶级数冲激脉冲序列的傅里叶变换冲激脉冲抽样信号的傅里叶级数冲激脉冲抽样信号的傅里叶变换《信号与系统》，清华大学电机系陆超25误差分析•连续、离散信号的时域、频域分析满足：①对周期信号xa(t)的抽样满足完整周期抽样，即T1/Ts=N1为整数；②xa(t)频率有限，对xa(t)的抽样满足抽样定理。•如果不满足这两个条件，则用Xdg(k)表示Xag(kω1)会出现两种形式的误差：①泄漏误差②混叠误差《信号与系统》，清华大学电机系陆超26泄漏误差•已知连续周期信号xa(t)，周期为T1，对xa(t)进行抽样，抽样间隔为Ts，得离散序列xd(n)。首先假设抽样满足抽样定理，分析T1和Ts的关系对傅立叶级数误差的影响:①完整周期抽样，N1Ts=T1②完整周期抽样，N1Ts=MT1Xdg(k)的第kM个分量对应于Xag(kω1)的第k个分量ed1111101111()()()()NjktasgdasdgTnXkxntnTtXkMTT《信号与系统》，清华大学电机系陆超27③非完整周期抽样，N1Ts≠MT1xd(n)不再是周期序列，也不存在傅立叶级数。如果取近似周期的N1个点计算傅立叶级数，则产生误差，由Xdg(k)不再可以准确得到