第二章椭圆型方程的有限差分法.

第二章椭圆型方程的有限差分法§1差分逼近的基本概念§2一维差分格式§3矩形网的差分格式§4三角网的差分格式§5极值原理第二章椭圆型方程的有限差分法为给定常数。上的连续函数为其中边值问题考虑二阶常微分方程的,;0,],[,)2.1()(,)()1.1(,22qbafqbuaubxafqudxudLu§1差分逼近的基本概念区间的剖分为步长。称，间距称为网格结点（节点）网格剖分，的一个于是我们得到区间等分，分点为分成将区间hxbaINabhNiihaxnbajj],[./)(,2,1,0],[1区间的剖分1微分方程离散(差分方程）点取值。表示括号内函数其中展式可得，由的解光滑离散化，为此，对充分在节点现在将方程iiiiiiixhodxxuhhdxxudhxuxuxuTaylorux][)3.1(),(])([12])([)()(2)()1.1(3222222111微分方程离散(差分方程）)5.1(),(])([12)()4.1(),()()()()()(2)()1.1(3222211hodxxuhhuRuRxfxuxqhxuxuxuiiiiiiii其中写成于是在可将方程断误差。的截为差分方程称式中的差分方程：则得逼近方程，去的二阶无穷小量。若舍是足够小，当)6.1()().(),()6.1(,2)1.1()()(211uRxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiiiiiiiiiihii).(0)6.1()()7.1(][)()(2hhLLuRLuxuLuRhiiihi的阶为式关于起的截断误差，所引代替微分算子是用差分算子所以截断误差式。此格式称为中心差分格。的差分方程或差分格式为逼近的近似。称于是它的解方程组：就得到关于的线性代数时成立，加上边值条件当差分方程)2.1()1.1()9.1(),8.1()()9.1(.,)8.1(,1,2,1,2,1,2,1)6.1(0211iiNiiiiiiihxxxuuuuNifuqhuuuuLNi.1,,,,)8.1(:121阶方程组因此它是个数的的个数等于网格内点方程注意NxxxN)13.1(,)()12.1(,)11.1(,)10.1(,max.))(),,,,112121202111220110121NiiihhhhNiihiNichhhhiihhhNNhhuuhuuuuhuuuuIIIuxuIIbxaxIxxxI于是上的网函数引进范数我们对上的网函数（相应的称为数上的函（相应的的集合。定义在和界点表示网格内点的集合，表示网格内点以定义1.1.)14.1()14.1(,0)(lim)7.1()(条件为相容，而称逼近微分算子则说差分算子，恒有任何定义的网格函数，若对是由截断误差，是某一充分光滑函数类设LLuRuRhhh).()(),()(),()(:)6.1()5.1(1202houRhouRhouRhhch阶是的逼近微分算子，且逼近便知，差分算子由定义1.2网函数。看成这里有存在，且按某一范数的解充分时，，如果当收敛到边值问题的解称差分解hhhhhIuuuuhuu)15.1(.0lim)9.1(),8.1(0)())((2)()()()()()()(2)()()4.1(211211uRuxuLfuqhuuuuLuRfuRxfxuxqhxuxuxuxuLiiihiiiiiiihiiiiiiiiiih相减，得与写成可将方程.)()16.1(,1,,2,10)()(,)(0的问题误差函数（截断误差）估计就归结带通过右端的估计问题。于是收敛性及收敛速度满足下列差分方程；则误差函数引进误差hiNiihiihiiieuRNieeuReLexeuxue定义1.3.1,,2,1,)()17.1(,0,))((0),1,,2,1(000NivxvffhhfMvhMfxffIvvNifvLiihhRhRhhiihhhNiih也可以不同，相同，的某一范数，它可以和是右端其中当，使和无关的正常数及右端在与网格关于右端稳定，如果存称差分方程。变化小时解的变化也小，即右端连续依赖右端表明，解不等式hhfv)17.1(定理1.1（相容+稳定=收敛）.)(相同的收敛阶有和且收敛到边值问题的解，按则差分解右端稳定，满足相容条件，且关于按充分光滑，差分方程若边值问题的解RhhRuRuu程解的先验估计。差分方的估计式，称之为关于定性，即建立形如式的稳主要任务去建立差分格误差的阶。因此我们的条件，并且估计了截断展式证明它都满足相容用。我们曾检验相容条件并不困难立差分方程的稳定性。件和建性，就需要检验相容条为了建立差分解的收敛)17.1(Taylor§2一维差分格式为给定常数。其中考虑两点边值问题：,],,[,,,0)(],,[)2.2()(,)()1.2(,)(min1baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu差分法。法和变分直接差分法、积分插值三种方法：我们将介绍差分格式的2.1直接差分化.,,,,max,.,2,1,:],[,101211110的集合表示内点和界点的集合表示网格内点为最大网格步长。用称的一个网格剖分，记于是得到区间个小区间：分成将区间个节点：首先取bxaxIxxxIhhxxhINixxxINbaIbxxxxaNNhNhiiiiiiiiNi剖分节点。”号的是对偶打“”号的是原剖分节点，中打“对偶剖分。图的一个网格剖分，称为又作成点称为半整数点，则由节，的中点取相邻节点1],[,),,2,1)((21,2121232101211babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiiiabix1ix1ix21ix21ix图1点取值。表示括号内函数其中展式可得，由为此，对充分光滑的解离散化，在节点方程其次用差商代替微商将iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux][)3.2(),(][2][)()()1.2(2221111)4.2(),(][24][),(][24][)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii)5.2(),(][24][)()()(33312211121hodxudphdxduphxuxuxpiiiiiii)6.2(),()][12)]([4)]([),(][12)][]([2)()()()()()([22)4.2()5.2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxuxuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii，得，并除以减由)7.2()()()]()([])()()()()()([2)()(,)6.2(),3.2(),(),(),(),(111121112112121uRfxuqxuxuhhrhxuxuxphxuxuxphhxuLxuxffxqqxrrxppiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihiiiiiiii满足方程：边值问题的解知则由令的差分方程。题便得逼近边值问的截断误差，舍去为差分算子其中)2.2(),1.2()()8.2(),(][21][121)]([41)(()(22233221uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii)10.2(,,,1,,1)9.2(][][2011112111211NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL2.2积分插值法恒律具有形式上的热量守内任一小区间程，则在方一根杆上的稳定温度场如果把它看作是分布在考虑守恒型微分方程：],[,],[)13.2().()()()2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu)15.2()()()14.2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx其中或,)()(],[,)()()15.2(,)()15.2()()14.2(,)()(],,[],[)14.2(1212121211121212121)2()1(iiiiiixxiiiixxxxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxduxWxpfdxqudxxWxWxxxx积分，得在沿改写成故将恒连续流量”化是不合适的。但“热进一步差分允许有间断点，由考虑到则对偶单元取特别于考虑守恒型微分方程：)18.2(,2)17.2(.])(1[)16.2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii又利用中矩形公式，得)21.2(.)(2)20.2(,)(21,)(21][)14.2()18.2(),16.2(21211111111iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuuahuua，即得守恒型差分方程代到将)22.2(),(),(),()21.2()19.2(),17.2(,2121iiiiiiiiixffxqqdxppafqp，从而和计算式光滑，则可用中矩形公系数及右端如果)23.2(),(21),(21,22121212111iiiiiiiiiiifffqqdppppa也可用梯形公式，此时2.3变分-差分法)24.2(,0)()(,,buaubxafu边值问题明方法的思想。我们用一个简单例子说差分法。分格式，称为变分从变分原理出发构造差dxufdxuuJuJuJHubabaHu2*10*)(21)(),(min)(10其中使得等价于求数值计算中，我们学习过Lagrange插值多项式公式：Lagrange插值多项式先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项式P1(x)=a0+a1x使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1,令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x0)=0,l1(x1)=1.这样l0(x)含有因子x-x1,令l0(x)=λ(x-x1),再利用l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到x-x1l0(x)=------------,x0-x1类似的可得到x-x0l1(x)=------------,x1-x0这样x-x1x-x0P1(x)=---------y0+--------y1,x0-x1x1-x0l0(x),l1(x)称为以x0,x1为节点的插值基函数。.])()([)(21)(21)(.0,,,2,1,,)(],[],[),(111111112111201111iiiiiiiixxiiNixxiiNiiiNixxNixxNiiiiii