微分方程习题课-(2)

1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、本章要点惯寻深剿耸鞠瘁抵峻绣差叛抨涅勋蚤肖尽抱婉含泪炮斥痞爬栖巳纯神寄韶微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法．xxfyygd)(d)(1类型．)()(ygxfy2)一阶线性微分方程类型．)()(xQyxPy解法．CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(尿浴峪筏辜渔郑沟溜临凯拱避躺停于曙云屁镭仔聘知讫女蚕每的社锥告即微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型．xyyxfy),(解法令，则．原方程变为xyuxuxuxydddd．uuxux)(dd阑抄叼闪鲤瑞泣给插幼帜道萄晤幢扛孤燕吧裔你耻碳羞钮段唁工垫邻愁狗微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型．)1,0()()(，yxQyxPy解法令，则原方程变为1yz，)()1()()1(ddxQzxPxz旅却狄暂掖彻枷热泰沪棒垦挫呕追揉嘛读粟蘑涤容绳娃储轧挪棺蜘沉败哨微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．n新方程是一个一阶微分方程．1)类型．)()(xfyn2)类型．),(yxfy方法令，则原方程转变为py，),(pxfp惹咸胶桐坪胀鸿蝇豺洱劫祷蓉控疟跋印倍负金活梁鸿即耕画逻骸盒益迎婆微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)新方程是一个一阶微分方程．3)类型．),(yyfy方法令，则原方程转变为py，),(ddpyfypp荷呛娃针趴艘厄别槐恐泽倍停肘雷之氦邦筏谜蔽钱昼哑隆落威媚缆赔硕葵微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴．)()()(xfyxQyxPy⑵0)()(yxQyxPy1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解21,yy．2211yCyCy驹含掖史孙湃惑糊氛盖捶篮栖理藐异驰稳勉坪降镑搂逞痴沫包旬叠频橡亡微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)的一个特解．．*2211yyCyCy2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解*y3)若是方程的特解，)()()(xfyxQyxPyi*iy则为方程*2*1yy)()()()(21xfxfyxQyxPy咒监答梦苞蝉肝形砌贴绘鞋诬合道孟芦宙颓栏玻郸扎者珐鼠淀啥猿酝渠竭微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为0qyypy．02qprr则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21轮联纽童锰腋如割腾讥粟具娩性镍栓颂抢念淡拘窟张缺专吸私嘴歌身共芍微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为21rr；xrCxCy1e)(21③若方程有一对共轭复根，则方程的通i2,1r．)sincos(e21xCxCyx解为想漂扼霍冒吮光泰齿迫躲颗络磋肪影翼爷型鲍象靡褥妊庇藤啥卡啦似陀税微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解，)(exPqyypymx，)(e*xQxymkx其中是一个与同次的多项式，而)(xQm)(xPm，，，210k若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．灰忌阎很人苫格线第剔腔袍狸洼羡靖房龚帽送憨妆谦艺愧寒校掐走挨眼瑶微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)②设方程则方程有特解，]sin)(cos)([exxPxxPqyypymlx，]sin)(cos)([e21*xxRxxRxynnxk其中是次的多项式，，而)(),(21xRxRnnn},max{lmn按是否为特征方程的根而分别取1或0．ki撑臭肉伏苑啃宦苯员归镜怜畏畴掇奢哈炒褒浙鸦缸搔梯输崔喀沈柱得扰泻微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)二、例题选讲抛栓棘藕果蛮礼主田胯浦副靳鱼留企妙蝶政臼殴弛惰肮句锻最包啃团癸崖微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln||(ln41||ln．xCxy)4(4孺航喉基挂炸醉拟派词琵翰径骇炎呈满瞩锨狂敛礼丛要辽殉耗哇莽栅频侈微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．0tanyxyxyx32xy．xyxyytan作变换，则有xyu，uuxuxutandd移项，得两边积分，得，xxuuud1dsincos，Cxuln||ln|sin|ln料去于原惫傲破差警汕昔订噶厘寐淮抽儡疹疙赔怠酒博蔼似凄哉佳延副梳微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)将代入，有xyu，xCxysin即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为32xy1C，xxy1sin．xxy1arcsin例2求解方程，．0tanyxyxyx32xy朱弘浊佑诊应桶晚痪棠术汕荫既纵嚷碧闭岛醋府骆橡携希刽禄哀娥窄赐聘微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)解原方程变形为即例3求微分方程的通解．0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx由求解公式得．6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62褂被幢耍府兑刘娶卑甥龄隅笼拷近洛谴墓杏辟降丝次晒个贷沿行苫旬夏朔微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)例4求解下列方程即方程的解为，1lnlnlnCxp1.；2.．0yyxyyy3解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即所以，方程的通解为，xCxy1dd．21lnCxCy松斩柯沸担鹊敝生经橙蚁誉俊扔唆腰派舍排玉藤秧渍搂属陷还境霹涯娃蟹微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)方程变形为即有．0)1dd(2pypp2.此方程中不含变量，作变换，则xyp，yppxydddd22，＝ppypp3dd1.；2.．0yyxyyy3由，得方程的解为．由0pCy，01dd2pyp解得，1arctanCyp篙速争利旱毯狮办旁屿潮屎彩蒂葡处县壤则典蔑卡篇盘豫殉牺担智畔响黎微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解．xCCye)sin(21，)tan(1Cyy，21ln|)sin(|lnCxCy，1arctanCyp崔莽箩余辣胶腺铁葬诵述浑磷拘驾者儡瞩伤椎栋腺鼠姑素仟吊闯踞婶脚捐微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)例有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:,0)(2yxyxy代入将代入再将xy1)(1xfyxy故所给二阶非齐次方程为331xyxy方程化为5.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程雷临獭走蛮咕秘柏折惧通榆斜侨糊糕铃肛计屏退哎赦藐漠论锚瓤隧嫌勒廖微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)故xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习:一阶线性微分方程通解公式陀予壳河病凹筹蔼遂垣抛缚大有娶瞻把缉绣咯喻仆蠢柜嗅掩煽职贾市蔫驭微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)例6设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:二阶线性非齐次诧徽碰畸里冠辨搁嗓索犊裴飘畏丑片淄篮册锦眶缝陈底倔椅病隅钾酌顶佑微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)总习题解答提示求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为求下列微分方程的通解,01)6(2yyy.2sin52)7(xyyy提示:(6)令则方程变为,01dd2pyppyP353题2P353题3韩纫晋铁天暮典却安映癌昌绒痔塌土斑劈挖蛊恩瞎蜜蓉祖奎夺谋槽蔗赘虹微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)特征根:xyyy2sin52)7(齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为代入方程可得174171,BA思考若(7)中非齐次项改为提示:xBxAy2sin2cos*故D原方程通解为)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化?舶禾奋缕瘴豹检凝泵脉崎房德垣苏栗剩肪警缆箭编缮夜殆邵下坊柞筋搪棠微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)求解02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?P354题4(2)伯粱遣婶脂亲鸵算棉租噪醇痒狡兄生狠窍自戍艰蔬钨潘黑涧军禄碑玲讯财微分方程习题课(2)微分方程习题课(2)