同济大学高等数学教案第八章无穷级数

1高等数学教学教案第一章函数、连续与极限授课序号01教学基本指标教学课题第八章第一节常数项级数的概念与性质课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点几何级数和p级数教学难点无穷级数概念和性质参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数和p级数的收敛性教学基本内容一、基本概念：定义1设有数列nu，1,2,n，将数列1,2,nnu中的各项用加号连接的形式12nuuu称为常数项无穷级数，简称级数，记为1nnu，其中是求和记号，称为下标变量，第n项称为级数的一般项（通项）.定义2对数列123,,,,nuuuu，取它的前n项的和1231nnniiSuuuuu，nS称为级数的部分和（前n项之和）.定义3若级数的部分和数列nS有极限S，即limnnSS，则称无穷级数1nnu收敛，这时，极限S就2叫做无穷级数1nnu的和，并写成1nnuS；若数列nS没有极限，则称无穷级数1nnu发散.二、定理与性质：收敛级数的基本性质性质1若级数1nnu收敛，其和为s，则对任何常数k，级数1nnku收敛，且其和为ks，即11.nnnnkuku性质2若级数1nnu，1nnv分别收敛于s和t，即11,,nnnnusvt则级数1nnnuv也收敛，其和为st，即有111.nnnnnnnuvuv推论若0k，则级数1nna与1nnka具有相同的收敛性；若级数1nna，1nnb一个收敛一个发散，则级数1nnnab一定发散.性质3(级数收敛的必要条件)如果级数1nnu收敛，则lim0nnu.推论如果当n时，级数的一般项nu不趋于零，那么级数发散.性质4改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性.3推论级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.三、主要例题：例1讨论级数(等比级数)200nnnaqaaqaqaqa的收敛性.例2证明级数111++++12231nn是收敛的.例3判定级数111lnnn的敛散性.例4判定级数1112nnnn的敛散性.例5证明级数n321是发散的.例6证明调和级数11111123nnn是发散的.例7求级数1)1(321nnnn的和.例8讨论级数1212nnn的收敛性.4授课序号02教学基本指标教学课题第八章第二节常数项级数的审敛准则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点比较法和比值法，莱布尼兹公式教学难点绝对收敛和条件收敛参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差，了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系教学基本内容一、基本概念：常数设，0nu,2,1n，级数11nnnu或111nnnu称为交错级数.项级数的每一项都是常数，当各项都是大于或等于零的常数时，称为正项级数.设有级数121nnnuuuu，其中(1,2,)nun为任意实数，那么该级数叫做任意项级数．若级数1nnu收敛，级数1||nnu也收敛，则称级数1nnu绝对收敛；若级数1nnu收敛，级数1||nnu发散，则称级数1nnu条件收敛；二、定理与性质：定理1（基本定理）正项级数1nnu收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}ns有界.定理2（比较审敛定理）：设11,nnnnuv是两个正项级数，且(1,2,)nnuvn，则有5若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.推论（比较审敛定理的极限形式）：设11,nnnnuv是两个正项级数，limnnnulv，若0l，则nu与nv同敛散；若0l，则当1nnv收敛，有1nnu也收敛；若l，则当1nnv发散，有1nnu也发散.定理3（比值审敛定理）设1nnu是正项级数，且1limnnnuu，则有111,1,1,nnnnuu收敛,发散,无法判定.定理4（根值审敛定理）若1nnu为正项级数，且lunnnlim，则当10l时，1nnu收敛；当1l时，1nnu发散；当1l时，无法确定.*定理5（积分审敛定理）若xf（0x）为非负的不增函数，则1nnf与1dxxf同敛散.定理6(莱布尼兹定理)如果交错级数11(1)nnnu满足条件：（1）1(1,2,)nnuun；（2）lim0nnu，则交错级数收敛，且收敛和1su.定理7若正项级数1nnu收敛，则任意项级数1nnu必收敛.6定理8设1nnu是任意项级数，若满足下列条件之一，则级数1nnu必绝对收敛.(1)存在收敛的正项级数1nnv，满足||(1,2,)nnuvn;(2）1lim1nnnuu;（3）lim1nnnu三、主要例题：例1证明正项级数211nn是收敛的.例2判定级数311nnn的敛散性.例3证明正项级数11pnn当01p时是发散的.例4判定下列级数的收敛性：(1)2111nnn;(2)112nnn.例5证明级数1)1(1nnn是发散的.例6判定级数211ln1nn的敛散性.例7判别下列级数的收敛性(1)111cosnn；(2)1132nnn.例8判别下列级数的收敛性：(1)1!1nn；(2)110!nnn；(3)11212nnn;7（4）122nnn；（5）1!nnnn；（6）1!nnnxn0x.例9判别级数2112nnnn的敛散性.例10判别级数1!(0)nnnnaan的收敛性.例11讨论下列正项级数的敛散性.（1）)0,0(1snnsn；（2）1313nnn.例12讨论下列正项级数的敛散性.（1）0ln12pnnnp；（2）2!ln1nn.例13试证明交错级数11111111(1)1(1)234nnnnn是收敛的.例14判定交错级数111(1)4nnnn的敛散性.例15级数121lnnnn收敛.例16判别级数11)1(npnn)0(p的收敛性.例17判别级数21sinnnn的收敛性.例18判别级数11(1)(1)!nnnnn的收敛性.例19判别级数12111nnnn是绝对收敛还是条件收敛.例20讨论级数211nnnn的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛8授课序号03教学基本指标教学课题第八章第三节幂级数的收敛及函数的展开式课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点收敛域和和函数的求法，幂级数展开教学难点展开级数的条件参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。教学基本内容一、基本概念：1、函数项级数的概念：设定义在区间I上的函数列nux：1ux、2ux、……、nux、……，各项用加号连接的形式：121nnnuxuxuxux，称为函数项无穷级数，简称函数项级数.对于I上的每一个值0x，函数项级数01nnux就是常数项级数.若01nnux收敛，则称0x是函数项级数1nnux的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为1nnux的收敛域，记为xI；若01nnux发散，则称0x是函数项级数1nnux的发散点，发散点的全体组成的数集称为1nnux的发散域.对于收敛域中的每一个数x，1nnux成为一收敛的常数项级数，因此有一确定的和S，这样在整个收9敛域上，函数项级数的和是x的函数，记作Sx，称Sx为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是函数项级数的收敛域.对于收敛域内的点x，有1nnSxux.2、幂级数：200102000nnnnnaxxaaxxaxxaxx称为关于0xx的幂级数.令0txx，并将t仍记为x，则有0nnnax，因此不失一般性，我们仅讨论这个形式的幂级数.一般地，对于幂级数0nnnax，当给x以确定的值，例如0xx，则幂级数称为一个常数项级数00nnnax.若这个常数项级数收敛，则称0x为函数项级数的收敛点；若这个常数项级数发散，则称0x为函数项级数的发散点；幂级数0nnnax的收敛点的全体称为收敛域.二、定理与性质：定理1（Abel收敛定理）已知幂级数0nnnax满足1limnnnaa，则有以下结论成立（1）若0，则对任一x，幂级数0nnnax都绝对收敛;(2)若0,当1||x时，幂级数0nnnax绝对收敛,当1||x时，幂级数0nnnax发散；（3）若，则幂级数在0x时都发散.令1R，称R为幂级数的收敛半径.(,)RR称为幂级数的收敛区间，而幂级数的收敛域必为下列区间之一：[,],[,),(,],(,)RRRRRRRR.10当0时，幂级数处处都收敛，规定收敛半径R；当时，幂级数仅在原点收敛，规定收敛半径0R.定理2已知幂级数0nnnax，若1limnnnaa，则幂级数0nnnax的收敛半径1,0,,0,0,.R定理3（代数运算）设幂级数2012nnaaxaxax，2012nnbbxbxbx的收敛区间分别为11(,)RR及22(,)RR，其和函数分别为()fx与()gx，即110(),(,),nnnaxfxxRR220(),(,),nnnaxgxxRR设12min{,}RRR，则在(,)RR上，两个幂级数可以作加法、减法及乘法运算：000()()(),(,),nnnnnnnnnnaxbxabxfxgxxRR200011002112000()()nnnnnnaxbxabababxabababx0110(),(,).nnnnabababxxRR定理4（和函数的连续性）设幂级数0nnnax的收敛域为区间I，则它的和函数()sx在收敛域I上是连续的.11定理5（和函数的可导性）设幂级数0nnnax的收敛半径为(0)RR，则其和函数()sx在收