第十章-薄板弯曲

第十章薄板弯曲§10-1有关概念及计算假定§10-2弹性曲面的微分方程§10-3薄板横截面上的内力§10-4边界条件扭矩的等效剪力§10-5四边简支矩形薄板的重三角级数解§10-6矩形薄板的单三角级数解§10-7薄板弯曲的直角坐标求解§10-8圆形薄板的弯曲§10-9圆形薄板的轴对称弯曲§10-10变分法求薄板的位移目录§10-1有关概念及计算假定两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称为板，如图10-1。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板面之间的距离称为板的厚度，而平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度远小于中面的昀小尺寸b，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。δδδ对于薄板的弯曲问题，可以用来计算工程上的问题。对于厚板，但还不便应用于工程实际问题。当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分荷载，一个是平行于中面的所谓纵向荷载，另一个是垂直于中面的所谓横向荷载。对于纵向荷载，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力，形变和位移，可以按平面应力问题进行计算，横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力，形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。§10-1有关概念及计算假定当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。本章中只讲述薄板的小挠度弯曲理论，虽然很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度（因此，位移和形变是微小的基本假定仍然符合）如果薄板的弯曲刚度较小，以致挠度与厚度属于同阶大小，则须另行建立所谓大挠度弯曲理论。§10-1有关概念及计算假定如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远大于厚度，则薄板成为薄膜。薄板问题属于空间问题。为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假设外，还补充提出了3个计算假定，用来简化空间问题的基本方程（这些计算假定，已被大量的实验证实是合理的）。§10-1有关概念及计算假定取薄板的中面为xy面，如图10-1薄板的计算假定如下（1）垂直于中面方向的线应变，即可不计,取，则由几何方程得从而得zε0zε=0zω∂=∂(),xyωω=这就是说，横向位移w只是x，y的函数，不随z而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。§10-1有关概念及计算假定（2）应力分量远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计（注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必需的，不能不计）,,xzyzzττσ这是因为，薄板弯曲问题与梁的弯曲问题相似，由各应力分量的数量级可见，弯应力和扭应力为主要应力，横向的切应力为次要应力，而挤压应力为更次要的应力。因此，上述假定中认为是次要的，它们引起的形变可以不计。,xyσσxyτ,xzyzττzσ,,xzyzzττσ§10-1有关概念及计算假定不计所引起的形变,xzyzττ0,0zxyzγγ==几何方程0,0uwvwzxzy∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂,uwvwzxzy∂∂∂∂=−=−∂∂∂∂由于，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。0,0,0zzxyzεγγ===（1）§10-1有关概念及计算假定在上述计算假定中虽然采用了，但在以后的考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于的物理方程。0,0,0zzxyzεγγ===,,xzyzzττσ,,zzxyzεγγ因为不计所引起的形变，所以薄板的物理方程为zσ()1121xxyyyxxyxyEEEεσμσεσμσμγτ⎡⎤=−⎣⎦⎡⎤=−⎣⎦+=（2）§10-1有关概念及计算假定（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即()()000,0zzuv====,,xxxyuvuvxyyxεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂()()()0000,0,0xyxyzzzεεγ======这就是说，中面的任一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形状保持不变。（3）§10-1有关概念及计算假定§10-2弹性曲面的微分方程薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度作为基本未知函数。将其他未知函数——纵向位移u，v主要应变分量，主要的应力分量，次要应力分量及更次要的应力分量，分别都用挠度w来表示，并导出求解挠度的方程。(),xyωω=xyxy,εεγ,xyxy,σστ,,xzyzττzσ（1）将纵向位移u，v用挠度w表示。把此式对z积分，并注意w是x，y的函数，即得()()12,,,wwvzfxyuzfxyyx∂∂=−+=−+∂∂应用计算假定（3），得于是纵向位移表示为()()12,0,,0fxyfxy==,wwuzvzxy∂∂=−=−∂∂§10-2弹性曲面的微分方程（2）将主要应变分量用w表示。把上式的u，v代入几何方程就得到xyxy,εεγ,222222xyxyuwzxxvwzyyuvwzyxxyεεγ∂∂==−∂∂∂∂==−∂∂∂∂∂=+=−∂∂∂∂（3）将主要应力分量用w表示。由薄板的物理方程求解应力分量，得()221121xxyyyxxyxyEEEσεμεμσεμεμτγμ⎡⎤=+⎣⎦−⎡⎤=+⎣⎦−=+（a）（b）§10-2弹性曲面的微分方程再把式（a）的应变分量代入上式，就得出22222222222111xyxyEzxyEzyxEzxyωωσμμωωσμμωτμ⎛⎞∂∂=−+⎜⎟−∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂=−+⎜⎟−∂∂⎝⎠∂=−+∂∂由于w不随z而变可见这三个主应力分量都和z成正比。（4）§10-2弹性曲面的微分方程（4）将次要应力分量用w表示。由于次要应力分量所引起的形变滤去不计，相应的物理方程也已放弃。为了求出，可以应用平衡微分方程，并由于不存在纵向荷载，体力分量，由此得到,xzyzττ,xzyzττ,xzyzττ0,0xyff==yxzxxzyyxyzxyzyxττστστ∂∂∂=−−∂∂∂∂∂∂=−−∂∂∂xyxy,σστ,332232233223221111zxzyEzwwEzzxxyxEzwwEzzyyxyτωμμτωμμ⎛⎞∂∂∂∂=+=∇⎜⎟∂−∂∂∂−∂⎝⎠∂⎛⎞∂∂∂=+=∇⎜⎟∂−∂∂∂−∂⎝⎠记22222xy∂∂∇=+∂∂§10-2弹性曲面的微分方程将上两式对z积分，得()()()()22122222,21,21zxzyEzFxyxEzFxyyτωμτωμ∂=∇+∂−∂=∇+∂−其中的待定函数，可以根据薄板的上，下板面的边界条件求出，即()()12,,,FxyFxy()()220,0zxzyzzδδττ=±=±==§10-2弹性曲面的微分方程应用这两个边界条件求出以后，即得的表达式,zxzyττ这两个切应力沿横向为抛物线分布。()()12,,,FxyFxy()()22222222421421zxzyEzxEzyδτωμδτωμ⎛⎞∂=−∇⎜⎟∂−⎝⎠⎛⎞∂=−∇⎜⎟∂−⎝⎠（10-5）§10-2弹性曲面的微分方程（5）昀后，将更次要的应力分量用w表示。用平衡微分方程，并取体力分量zσ0zf=zyzxzzxyττσ∂∂∂=−−∂∂∂如果体力分量不等于零，我们可以把薄板的每单位面积内的体力和面力都归入到上板面的面力中去，一并用q表示，即zf()()2222zzzzzqfffdzδδδδ−=−==++∫这只会对次要的应力分量引起误差，对其他的应力分量则没有影响。zσ（c）（d）§10-2弹性曲面的微分方程注意，将这两个应力分量的表达式（10-5）代入式（c）得,xzzxyzzyττττ==()2242421zEzzσδωμ⎛⎞∂=−∇⎜⎟∂−⎝⎠()()23432,4321zEzzFxyδσωμ⎡⎤=−∇+⎢⎥−⎣⎦其中待定函数可由薄板的下板面的边界条件来确定，即()3,Fxy()20zzδσ==（e）积分§10-2弹性曲面的微分方程将式（e）代入，求出，再代回到式（e），即得的表达式()3,Fxyzσ()()()23342234214382111261zEzzEzzδδσδωμδωδδμ⎡⎤⎛⎞=−−−∇⎢⎥⎜⎟−⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎛⎞=−−+∇⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠现在来导出w的微分方程。由薄板的上板面的边界条件()2zzqδσ=−=−其中q是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向面力及横向体力，如式（d）所示。（10-6）（f）§10-2弹性曲面的微分方程将的表达式（10-6）代入式（f），即得zσ()342121Eqδωμ∇=−或4Dqω∇=()32121EDδμ=−称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是。方程（10-8）称为薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲微分方程。22LMT−（10-7）（10-8）（10-9）§10-2弹性曲面的微分方程§10-3薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的每单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。为了求出薄板横截面上的内力，从薄板内取出一个平行六面体，它的三边的长度分别为和板的厚度,dxdyδ在x为常量的横截面上，作用着和。因为及都和z成正比，且在中面上为零，所以它们在薄板全厚度上的主矢量都等于零，只可能分别合成为弯矩和扭矩。,xxyστxzτxσxyτ在该横截面的每单位宽度上，应力分量对中面合成为弯矩xσ22xxMzdzδδσ−=∫将式（10-4）中的第一式代入，对z进行积分，得()222222223222221121xEwwMzdzxyEwwxyδδμμδμμ−⎛⎞∂∂=−+⎜⎟−∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂=−+⎜⎟∂∂−⎝⎠∫（a）§10-3薄板横截面上的内力与此相似，应力分量将合成为横截面内的扭矩xyτ22xyxyMzdzδδτ−=∫将式（10-4）中的第三式代入，对z进行积分，得()2222321121xyEwMzdzxyEwxyδδμδμ−∂=−+∂∂∂=−+∂∂∫应力分量只可能合成为横向剪力，在每单位宽度上为xzτ22SxxzFdzδδτ−=∫（b）§10-3薄板横截面上的内力将式（10-5）中的第一式代入，对z进行积分，得()()222222322421121SxEFwzdzxEwxδδδμδμ−⎛⎞∂=∇−⎜⎟∂−⎝⎠∂=−∇∂−∫同样，在y为常量的横截面上，每单位宽度内的和也分别合成为如下的弯矩，扭矩和横向剪力：,yyxστyzτ（c）§10-3薄板横截面上的内力()()()32222222322232222121121121yyyxyxxySyyzEwwMzdzyxEwMzdzMxyEFdzwyδδδδδδδσμμδτμδτμ−−−⎛⎞∂∂==−+⎜⎟∂∂−⎝⎠∂==−=+∂∂∂==−∇∂−∫∫∫将式代入式（a）至式（f），薄板横截面上的内力可以简写为()32121EDδμ=−（d）（e）（f）§10-3薄板横截面上的内力()22222222222,1,xyxyyxSxSyμμμ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂=−+=−+⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂==−−∂∂∂∂=−∇=∇∂∂薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。（10-10）§10-3薄板横截面上的内力利用式（a）至（f），从式（10-4）及（10-5）中消去w，可以得出各应力分量与弯矩，扭矩，横向剪力或载荷之间的关系如下33322223321212,1266,441212yxxyxyxyyxSySxxzyzzMMzzMzFFzzzzqσσδδττδδδττδδσδδ====⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（10-11）§10-3薄板横截面上的内力沿着薄板的厚度，应力分量的昀大值发生在板面，及的昀大值发生在中面，而的昀大值发生在板的上面，昀大值为,,xyxyσστxzτyzτzσ()()()()()()()()()32232222200266633,22xxxzzyyyzzxyxyxyzzSySxzxzyzzzzMMMFFqδδδδδδδσσδσσδττδ