高数A(下)总复习(同济七版)

第1页共12页《高等数学A》(第二学期)期末总复习一、微分方程(一)一阶微分方程：形如(,,)0Fxyy，(,)yfxy或(.)(,)0MxydxNxydy初值问题：00(,),xxyfxyyy注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数1．可分离变量方程：()()fxdxgydy，两边同时积分可得通解2．齐次方程：dyydxx，令yux，yxu，dyduuxdxdx()dudxuux，可分离变量形式3．一阶线性微分方程：形如()()dyPxyQxdx，()0Qx：齐次；()0Qx：非齐次.(1)齐次：()0()||()dydyPxyPxdxlnyPxdxlnCdxy通解：()PxdxyCe(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量②公式解：()()()PxdxPxdxyeQxedxC(二)可降阶的高阶微分方程(1)()()nyfx型：连续积分；(2)(,)yfxy型(不显含y的方程)：设yp，则(,)yppfxp(3)(,)yfyy型(不显含x的方程)：设yp，则dpypdy(,)dypfypdy(三)二阶线性微分方程的解的结构1．齐次：()()0yPxyQxy，通解：1122()()yCyxCyx，其中12(),()yxyx为该方程两个线性无关的特解．2．非齐次：()()()yPxyQxyfx通解：()*()yYxyx，其中()Yx为对应的齐次方程的通解，*()yx为原方程的一个特解．3．设**12(),()yxyx分别为1()()()yPxyQxyfx与2()()()yPxyQxyfx的特解，则***12()()yyxyx为12()()()()yPxyQxyfxfx＋的特解．第2页共12页(四)二阶常系数线性微分方程1.齐次：0ypyqy，其中,pq都为常数(1)特征方程20rprq特征根12,?rr(2)通解：12112121212121,2()(cossin)rxrxrxxCeCerryCCxerreCxCxri2.非齐次：()ypyqyfx，其中,pq都为常数(1)先求出对应的齐次方程0ypyqy的通解：()YYx；(2)后求原非齐次方程的特解：A、()()xmfxePx型：令*()kxmyxeQx，其中k是特征方程的根的重数B、()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx型：令*[()cos()sin]kxmmyxeQxxRxx，其中max{,}mln，k是特征根i的重数.注意事项1)积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令uyx)、一阶线性方程(公式法)、伯努利方程1()nzy、可降阶方程(不显含x：,pypy与不显含y：,pyypdpdy)2)碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键3)二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程特征方程特征根齐次通解；设非齐次特解形式代入原方程求得非齐次特解非齐次通解二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.点(,,)Mxyz向量(,,)OMxyzxiyjzk；2.点111222(,,),(,,)AxyzBxyz向量212121(,,)ABxxyyzz；3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)xyzxyzaaaabbbb，则(,,)xxyyzzabababab；(,,)xyzaaaa（为数）；第3页共12页||||cos(,)xxyyzzabababababab；xyzxyzijkabaaabbb，(||||||sin(,),,)ababababbaba；以向量a和b为邻边的平行四边形面积公式：||Sab//yxzxyzbbbabaaa（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）；0abab；//0abab；cos(,)||||ababab；||cos(,)abbabPrj.(二)曲面、空间曲线及其方程1.曲面及其方程:(,,)0Fxyz，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy便两两联立消去z，其余类推.(三)平面方程与直线方程1.平面方程(1)一般方程：0AxByCzD，其中(,,)nABC为其一法向量．(2)点法式方程：法向量(,,)nABC，点000(,,)Mxyz，则000()()()0AxxByyCzz．(3)截距式方程：1xyzabc，主要用于画图.(4)平面束方程：过直线1111222200AxByCzDAxByCzD的平面束方程为：11112222()()0AxByCzDAxByCzD：过该直线的除第2个平面外的所有平面.2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)smnp，点0000(,,)MxyzL，则000xxyyzzmnp；(2)参数式方程：000xxmtyyntzzpt（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：1111222200AxByCzDAxByCzD3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角第4页共12页4.距离：点0000(,,)Mxyz到平面0AxByCzD的距离：000222||AxByCzDdABC主要题型（1）向量数量积的运算或求夹角；(2)计算三角形面积（3）求解直线方程和平面方程.注意事项1)本章的向量是自由向量，与起点无关，可任意平移2)空间直角坐标系利用右手准则建立，xyz要满足这样的循环关系xyzx3)数量积是个数量，向量积是个向量，重点掌握它们的坐标形式4)数量积可用于求向量夹角(介于0到之间)，向量积可用于确定方向及计算三角形或平行四边形面积5)一个方程(一个等号)是一个面，两个方程(两个等号)是条曲线6)平面主要抓住法向量，直线主要抓住方向向量三、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：特殊方向法只能证极限不存在连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值.(二)偏导数1.显函数：(,)zfxya．定义：0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx，00(,)yfxy定义类似；要掌握定义法求偏导b．求导法则：对x求偏导，暂时视y为常量；对y求偏导，暂时视x为常量c．高阶偏导数：22(,)xxzzfxyxxx；2(,)xyzzfxyxyyx定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若(,)zfuv具有连续偏导数，而(,)ugxy与(,)vhxy都具有偏导数，则复合函数[(,),(,)]zfgxyhxy的偏导数为：12uxvxxxzzuzvfufvfgfhxuxvx，12uyvyyyzzuzvfufvfgfhyuyvy注①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②111,,fff等都具有相同的中间变量.2.隐函数（要诀：方程两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量，剩下的全为自变量）第5页共12页(1)一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：(,)0Fxy:xydyFdxF公式法三元方程可确定一个二元隐函数：(,)(,)0,zzxyyxzzFzFzFxyzxFyF公式法：，(2)方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：()()(,,)0,(,,)0yyxzzxxFxyzdydzGxyzdxdx对求导四元方程组可确定两个二元隐函数：(,)(,)(,,,)0(,,,)0uuxyvvxyFxyuvGxyuv对x(或y)求偏导得,uvxx（或,uvyy）(三)全微分：可微函数(,)zfxy的全微分为：zzdzdxdyxy.定义为：0000[(,)(,)]()zfxxyyfxyAxByo，其中22()()xy全微分存在之证明：计算zAxBy，证明是否趋近于0，其中,AB为该点处的两个偏导数.(四)几何应用（重点把握切向量和法向量）1．曲线的切线与法平面a、若曲线的参数方程为：()()()xxtyytzzt，点0000(,,)Mxyztt，则切向量为000((),(),())Txtytzt，切线方程为000000()()()xxyyzzxtytzt；法平面方程为000000()()()()()()0xtxxytyyztzzb、若曲线的方程为：()()yfxzgx，点000(,,)Mxyz，则切向量为00(1,(),())Tyxzxc、若曲线的方程为一般方程：(,,)0(,,)0FxyzGxyz，点000(,,)Mxyz，则切向量为00(1,(),())Tyxzx（利用隐函数求导法，方程两边对x求导，解方程组可得,dydzdxdx）．(注：该法若无解，需改换其它自变量求导)【另解：利用三阶行列式计算xyzxyzijkTFFFGGG】2．曲面的切平面与法线第6页共12页a、若曲面的方程为(,,)0Fxyz，点000(,,)Mxyz，则法向量为：((),(),())xyznFMFMFM，切平面方程为：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz；法线方程为：000000000000(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyzb、若曲面的方程为(,)zfxy，点000(,,)Mxyz，则法向量为：0000((,),(,),1)xynfxyfxy，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0xyfxyxxfxyyyzz；法线方程为：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy(五)方向导数与梯度（以二元函数为例）(1)方向导数：设(,)zfxy可微分，(cos,cos)le，则000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl(2)梯度：(,)((,),(,))xyfxyfxyfxygrad，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值(1)无条件极值：设(,)zfx