【数学建模】国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测

国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测【摘要】国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。首先，我们根据所给数据，对数据进行描述性分析。之后，我们对数据进行了回归分析，构造了预测模型，并获得了模型的回归系数估计值及其置信区间。然后，考虑到每个回归系数置信区间包含零点与否的情况，我们对模型进行了改进，并得到了其交互式画面。考虑到数据的时间序列属性，我们对模型进行了自相关性诊断，作出残差散点图，初步判定其大部分点落在1,3象限，随机误差表现出正自相关趋势。但在之后的D-W检验中，我们计算出了DW值，自相关系数估计值ˆ，依照样本容量和回归变量数目，查阅了D-W分布表，得到检验的临界值dL和dU。在分析DW所在区间时，我们发现模型的自相关状态不能确定。之后，我们代入所给数据1952年-1980年的各项经济指标，得出的预测值与实际值相当吻合。最后，我们根据网络上查到的数据，利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测，并对结果进行了分析。关键词：MATLAB财政收入回归模型自相关性诊断自相关系数D-W检验一、问题重述国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关，根据所给数据，对数据进行分析，构造预测模型，并利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测。二、问题假设1.财政收入只与问题重述中提到的6个因素有关；2.所给数据真实准确，无录入错误。三、符号说明y：财政收入；x1：国民收入；x2：工业总产值；x3：农业总产值；x4：总人口；x5：就业人口；x6：固定资产投资；β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6：回归系数；ε：随机误差。四、问题分析、模型的建立与求解1.问题的分析首先对数据作初步分析。分别作出财政收入与6个因素的散点图，并用Excel自带的回归分析求出了各自自变量对y的R2（决定系数，越接近1则拟合程度越好）：图1x1-y散点图图2x2-y散点图图3x3-y散点图图4x4-y散点图图5x5-y散点图由该图可以明显看出，最右边有一个异常点：1981年就业人口攀升为73280，较之前有大幅度增长，但财政收入明显地低于预测值，为使个别数据不致影响整个模型，我们将该异常数据去掉。去掉后的x5-y散点图如下：图6去掉异常点后的x5-y散点图图7x6-y散点图2.模型的建立从以上的散点图及y对x1~x6初步的回归分析，我们再引入一个常量回归系数β0，作出了初步的模型：εβ6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1β0y（1）3.模型的求解首先我们剔除掉因为1981年就业人口对财政收入影响异常的特殊点（见图6），之后利用MATLAB统计工具箱中命令regress求解，得到模型（1）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R2，F，p的结果见表1。参数参数估计值参数置信区间β0-15.5344-366.5816335.5127β10.51000.23010.7898β2-0.0259-0.07690.0251β3-0.5905-0.9901-0.1908β40.0113-0.00280.0254β5-0.0230-0.04920.0032β60.3419-0.03870.7225R2=0.9840，F=225.8953，p=0.0000表1模型（1）的计算结果表1显示，R2=0.9840指因变量y（财政收入）的98.40%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p=0远小于α，因而模型（1）从整体来看是可用的。表1的回归系数给出了模型（1）中β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6的估计值，即-15.53440βˆ，5100.01βˆ，0259.0-2βˆ，5905.0-3βˆ，0113.04βˆ，0230.0-5βˆ，3419.06βˆ。检查它们的置信区间发现，β0，β2，β4，β5，β6的置信区间包含零点。常数项的置信区间相当地大，故可以剔掉。4.模型的改进由以上的分析，我们剔掉了常数项β0。得到模型（2）：εβ6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1y（2）再次检验相关参数：参数参数估计值参数置信区间β10.51460.26090.7683β2-0.0250-0.07030.0204β3-0.5958-0.9675-0.2241β40.01080.00270.0188β5-0.0223-0.0428-0.0018β60.33200.03170.6323R2=0.9840，F=283.1784，p=0.0000表2模型（2）的计算结果现在可以看到，只有β2一项的置信区间包含零点。我们加入了x22,log(x2)2,x1*x2,x2*x5等项，包含零点的置信区间不降反升，且目前R2=98.40%，目前的模型从整体上来看是可用的。将参数估计值代入模型（2）得到：x63320.0x50223.0x40108.00.5958x3x20.0250-x15146.0ˆy（3）使用rstool命令得到交互式画面（图8）：图8交互式画面5.结果分析从表面上看，模型（2）的拟合度已经达到了R2=0.9840，但这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列。很明显随机误差ε会出现（自）相关性。残差yyetˆ可以作为随机误差的估计值，画出et~et-1的散点图（图9）能够从直观上判断ε的自相关性。残差数据见表3。年份1952195319541955195619571958残差-12.73321.4793-5.70266.2455-21.60533.033411.4851年份1960196119621963196419651966残差-37.4752-1.1597-16.6442-7.478717.223532.15615.043年份1967196819691970197119721973残差32.9908-22.6918-41.15255.414215.771428.712310.6054年份1974197519761977197819791980残差5.5024-24.5628-36.9943-14.23231.095186.33191.8876表3模型（3）的残差图9模型（3）et~et-1的散点图从图9可以看出，大部分点落在第1,3象限，表明ε存在正得自相关。为了对ε的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下的模型：tβ6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1ty，ttu1t（4）利用表3给出的残差，根据DW检验公式nttnttteeeDW22221)(计算得出DW=1.6082.根据公式)ˆ1(2DW计算得出1959.0ˆ.要根据DW的具体数值确定εt是否存在自相关，应该在给定的检验水平下，一招样本容量和回归变量数目，查D-W分布表[2]，得到检验的临界值dL和dU，然后由DW所在的区间来决定。对于显著性水平α=0.05，n=29，k=6，查D-W分布表，得到检验的临界值dL=0.98，和dU=1.94。图10与DW值对应的自相关状态现在DWdL，由图10中DW所在区间，我们可以看到DW落在不能确定的区间。如前文所述，模型（2）经过了增加二次项，对数项的努力，依然存在置信区间包含零点的情况，我们分析原因可能是在1959-1962年，1966-1976年的重大历史事件对几项因素，以及财政收入产生了特殊的影响，使数据的规律性降低，变得难以预测。但若是剔除这些年份，数据量将显得过少，以及发生年代断代。下面，我们将使用模型（3）对之前数据进行评价：年份1952195319541955195619571958实际值184216248254268286357预测值197.499195.303254.508248.576290.446283.830346.393年份1959196019611962196319641965实际值444506271230266323393预测值482.371508.040288.511238.365249.688291.775378.918年份1966196719681969197019711972实际值466352303447564638658预测值433.998375.702345.188442.649549.325610.413648.546年份1973197419751976197719781979实际值691655692657723922890预测值686.677680.765730.215672.467723.153836.937889.400年份1980实际值826预测值880.373表4财政收入的预测值与实际值对比可以看到，预测值与实际值还是相当吻合的。之后，我们查阅了1990年及2000年的国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资，代入模型（2）。结果如下：正自相关0dL=0.98dU=1.9424-dL4-dU4无自相关负自相关不能确定不能确定DW=1.6082年份国民收入工业总产值农业总产值总人口就业人口固定资产投资199011412.9622452.27514611295463931.94517200098000.575710.6913873.612674372116.7732917.7年份财政收入（预测值）财政收入（实际值）19903539.682821.86200050961.713395.23表51990年和2000年财政收入预测值与实际值对比[3]数据来源自《CNKI中国统计年鉴数据库》从表5可以看到，1990年预测值与实际值相差大概25.4%，而2000年的预测值则偏差较大。在查阅数据时，我们就发现了2000年的工业总产值数据注明了“1990年不变价格”，而其余数据没有此说明项。并且，在固定资产投资一栏，我们查到了非常详细的分类，固定资产投资资金来源中国家预算内资金，固定资产投资资金来源中国内贷款，固定资产投资资金来源中自筹和其他资金等备注，而题目并未给出，这给我们筛选数据带来了极大的困难。总的来说，几十年来，统计方法或许都有变化，并且人民币的币值也发生了极大的变化（这是可以来源于直观的生活经验的），模型对1990年和2000年预测值与实际值的匹配程度有限，但对于1952-1980年的经济数据来说，依然有一定的参考价值。五、模型的评价优点模型的决定系数R2=0.9840较高，且都是一次项，计算简便。缺点自相关性未能判定，对1981年之后的数据预测值逐渐产生偏差。六、模型的推广与改进从前文的分析来看，我们认为1981年后，物价、通货膨胀、人民币币值等因素极大地影响了我们的预测数据，若补充上物价衡量指数，消费水平指数（CPI）等数据，模型的拟合度应该会更高。七、附件模型（1）的MATLAB程序：clear,clc%清屏x1=[598,586,707,737,825,837,1028,1114,1079,757,677,779,943,1152,1322,1249,1187,1372,1638,1780,1833,1978,1993,2121,2052,2189,2475,2702,2791]';x2=[349,455,520,558,715,798,1235,1681,1870,1156,964,1046,1250,1581,1911,1647,1565,2101,2747,3156,3365,3684,3696,4254,4309,4925,5590,6065,6592]';x3=[461,475,491,529,556,575,598,509,444,434,461,514,584,632,687,697,680,688,767,790,789,855,891,932,955,971,1058,1150,1194]';x4=[57482,58796,60266,61465,62