【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习《1-2-3 平面向量与复数》

回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二第3课时平面向量与复数回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二高频考点考情解读向量的有关概念及运算新课标高考对本部分的考查，主要是小题，即利用平面向量的运算去解决向量的模、向量的坐标、向量的平行、垂直、夹角或平面几何中的向量的线性表示等．平面向量与三角函数的综合此类问题主要涉及向量的运算，三角恒等变换，解三角形及三角函数的性质等，难度中等．复数对复数的考查主要是复数的概念、复数的四则运算和复数的几何意义，一般难度较小.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二1．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，(注意a，b为非0)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二2．利用向量的数量积求线段的长度问题(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝AB→·AB→＝x2－x12＋y2－y12.3．求向量的夹角问题设θ为a与b的夹角，则(1)cosθ＝a·b|a||b|；(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(3)平面向量夹角大小的判定方法若a·b0⇔a与b的夹角θ为锐角或零角；若a·b0⇔a与b的夹角θ为钝角或平角；若a·b＝0⇔a与b的夹角为90°(a≠0，b≠0)．4．复数的运算常用的结论i2＝－1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈Z)；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z)；(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2012·湖北卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二解析：(1)求2a＋b|2a＋b|.∵2a＋b＝(3,1)，∴|2a＋b|＝32＋12＝10.∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为2a＋b|2a＋b|＝31010，1010.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2)应用夹角公式．∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝5，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，∴cos〈b－3a，a〉＝b－3a·a|b－3a||a|＝－25＝－255.答案：(1)31010，1010(2)－255回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0或b＝0；②|a·b|≤|a||b|.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二1．(1)(2012·山东潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c，都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2)(2012·上海卷)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二解析：(1)本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a，b不共线，当a∥b，即向量a，b不共线时，满足3m－2＝2m，解得m＝2.故a，b不共线时，m∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2)如图所示，设|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC→，CN→＝λCD→，DN→＝CN→－CD→＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN→＝(AB→＋BM→)·(AD→＋DN→)＝(AB→＋λBC→)·[AD→＋(λ－1)CD→]回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二答案：(1)D(2)[1,4]＝(λ－1)AB→·CD→＋λBC→·AD→＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM→·AN→取得最大值4；当λ＝1时，AM→·AN→取得最小值1.∴AM→·AN→∈[1,4]．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量p＝(sinA－cosA,1－sinA)，q＝(2＋2sinA，sinA＋cosA)，p与q是共线向量，且π6≤A≤π2.(1)求角A的大小；(2)若sinC＝2sinB，且a＝3，试判断△ABC的形状并说明理由．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二解析：(1)∵p∥q，∴(sinA－cosA)(sinA＋cosA)－2(1－sinA)(1＋sinA)＝－cos2A－2cos2A＝0.∴1＋2cos2A＝0.∴cos2A＝－12.∵π6≤A≤π2，∴π3≤2A≤π.∴2A＝2π3.∴A＝π3.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2)△ABC是直角三角形．理由如下：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosπ3，即b2＋c2－bc＝3.又sinC＝2sinB，由正弦定理得c＝2b.联立方程可得b2＋c2－bc＝3，c＝2b，解得b＝1，c＝2，∴a2＋b2＝(3)2＋12＝4＝c2，∴△ABC为直角三角形．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二2．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二解析：(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosxπ4＜x＜π，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t＜2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二则y＝t2＋2t－1＝t＋222－32，－1＜t＜2，∴t＝－22时，ymin＝－32，此时sinx＋cosx＝－22，即2sinx＋π4＝－22，∵π4＜x＜π，∴π2＜x＋π4＜54π，∴x＋π4＝76π，∴x＝11π12.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二∴函数f(x)的最小值为－32，相应x的值为11π12.(2)∵a与b的夹角为π3，∴cosπ3＝a·b|a|·|b|＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝π3.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin2α＋π3＋2sin2α＝0，∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(1)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二(2)(2012·山东卷)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二答案：(1)A(2)A解析：(1)因为1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，则z(2－i)＝(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以2a＋b＝11，2b－a＝7，解得a＝3，b＝5，所以z＝3＋5i，故选A.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二复数的基本概念与运算问题的解题思路：(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二[提醒]在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解，也可把z看作自变量直接求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数z有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二3．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝()A.14B.12C．1D．2回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二答案：A解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝－3＋i4，∴z＝－3－i4，∴z·z＝－3＋i4·－3－i4＝14.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题二平面向量“价值性”的体现平面向量作为中学