材料力学讲义(精)

§1-1材料力学的任务1．几个术语·构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体.杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a和b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件，如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是指杆件。·变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB′位置，即产生了变形。小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l的l/1500～1/700，B支撑的水平位移Δ则更微小，在求解支承反力RA、RB时，不考虑这些微小变形的影响。2．对构件的三项基本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材料力学所要研究的主要内容。3．材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。§1-2变形固体及其基本假设在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：1．连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2．均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3．各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。§1-3外力及其分类外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1.按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2.按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。§1-4内力、截面法和应力的概念1．内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2．截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。例1-1钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m—m上的内力。解：（1）沿m—m截面假想地将钻床分成两部分。取m—m截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m—m截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。（3）由平衡条件∴因此用截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。3．应力参照图1-7，围绕K点取微小面积。根据均匀连续假设，上必存在分布内力，设它的合力为，与的比值为是一个矢量，代表在范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。当趋于零时，的大小和方向都将趋于一定极限，得到称为K点处的（全）应力。通常把应力分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量，称为正应力，称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积处内力的密集程度。应力的国际单位为N/m2，且1N/m2=1Pa（帕斯卡），1GPa=1GN/m2=109Pa，1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa。在工程上，也用kg(f)/cm2为应力单位，它与国际单位的换算关系为1kg/cm2=0.1MPa。§1-5变形与应变对于构件上任“一点”材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，它们分别由线应变和角应变来度量。1．线应变通常用正微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图1-8，微单元体的棱边边长为，变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。变形前平行于x轴的线段MN原长为，变形后M和N分别移到M′和N′，的长度为，这里于是表示线段MN每单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，若使趋近于零，则有一点线应变称为M点沿x方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。2．角应变如图1-6，正交线段MN和ML经变形后，分别是和。变形前后其角度的变化是，当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是称为M点在xy平面内的剪应变或角应变。剪应变，即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲量。例1-2图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长l=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δl=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。解：由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。，x方向例1-3图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。解：由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。§1-6杆件的基本变形形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有以下四种：1．拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图1-10）。2．剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形（图1-11）。3．扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形（图1-12）。4．弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-13）。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。§2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1.受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。2.变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。§2-2横截面上的内力和应力1．内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面m—m，取左段部分，并以内力的合力代替右段对左段的作用力。由平衡条件，得由于（拉力），则合力的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示。若取右段部分，同理，知,得图中的方向也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。2．轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。解：（1）计算各段内力AC段：作截面1—1，取左段部分（图b）。由得kN（拉力）CB段：作截面2—2，取左段部分（图c），并假设方向如图所示。由得则:kN（压力）的方向应与图中所示方向相反。（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知CB段的轴力值最大，即kN。注意两个问题：1）求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如P2沿轴线移动）。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。3．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力分布规律，先研究杆件变形，为此提出平面假设。平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即等于常量。2）由静力平衡条件确定的大小由于，所以积分得则:（2-1）式中：—横截面上的正应力；—横截面上的轴力；—横截面面积正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重）引起的正应力时，也可应用（2-1）式（2-2）。其中，若不考虑自重，则例2-2旋转式吊车的三角架如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为cm2的角钢制成，kN，。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力取节点A为研究对象，由平衡条件，得则kN（拉力）（2）计算AB杆应力MPa例2-3起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为cm2，cm2，m，kN，材料单位体积重量N/cm3，试考虑自重绘制轴力图，并求。解：（1）计算轴力AB段：取1--1截面①BC段：取2--2截面§3-1剪切及其实用计算1．工程上的剪切件通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。因此剪切定义为相距很近