平面向量导学案

海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组2．1向量的概念及表示学海导航【预习要点】向量概念，相等向量概念，向量几何表示，零向量，单位向量，平行向量，【预习要求】1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量（共线向量）、相反向量的概念.【知识网络】向量的概念向量的表示，向量的长度（模）零向量、单位向量、相等（反）向量平行（共线）向量学习探究【识记要点】1.向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具.通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题奎屯王新敞新疆2.向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用.3.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量【注意】1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小奎屯王新敞新疆2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质4.向量的表示：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.5.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0奎屯王新敞新疆0的方向是任意的奎屯王新敞新疆注意0与0的区别奎屯王新敞新疆②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.6.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.7.相等向量定义：海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组长度相等且方向相同的向量叫相等向量.【说明】（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．.8.平行向量(共线向量)：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.【说明】（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【探究】1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为AB，需要学生注意的是：AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量有大小、方向,还有作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2.向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量a，b，a＞b，或a＜b”这种说法是错误的.3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.4．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段【例题解析】例1判断下列说法是否正确，若不正确，请简述理由.①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组例2下列命题正确的有①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线③向量a与ｂ不共线，则a与ｂ都是非零向量④有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以①不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以④不正确；由于零向量与任一向量都共线，故③正确.例3回答下列问题，并简述理由.1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）6．两个非零向量相等的条件是什么？（长度相等且方向相同）7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量。解：OACBDOEF；OBDCEOAF；OCABEDFO．【课堂检测】1.下列命题中，正确的是（B）A.若|a|=|b|，则a=bB.若a=b,则a与b是平行向量C.若|a||b|,则abD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量2.下列说法中错误．．的是（A）A.B.零向量的长度为0C.D.零向量的方向是3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是一个单位圆4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b关系是c∥b.5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定不共线.6.判定下列命题的正误：①零向量是惟一没有方向的向量。（×）②平面内的单位向量只有一个。（×）③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（√）④向量a与b是共线向量，b∥C,则a与c是方向相同的向量。(×)⑤相等的向量一定是共线向量。(√)海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组7.下列四个命题中，正确命题的个数是1①共线向量是在同一条直线上的向量②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的④若四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD，BC与AD分别共线.8.已知ABCD是菱形，|AB|=1，∠DAB=3,则|BD|=1,|AC|=3.9.如图，梯形ABCD中，E，F分别是腰AB、DC的三等分点，且||AD2，||5BC，求||EF．解：分别取BE，CF的中点分别记为M，N，由梯形的中位线定理知：1||(||)2MNEFBC1111||()(||||)2222EFADMNADEFBC∴3159||(2)4224EF∴||3EF．10.在直角坐标系xoy中，已知||5OA，OA与x轴正方向所成的角为30，与y轴正方向所成的角为120，试作出OA．解：AEBDFC30xyOA海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组2．1向量的概念及表示学海导航【预习要点】向量概念，相等向量概念，向量几何表示，零向量，单位向量，平行向量【预习要求】1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量（共线向量）、相反向量的概念.【知识网络】向量的概念向量的表示，向量的长度（模）零向量、单位向量、相等（反）向量平行（共线）向量学习探究【识记要点】1.向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具.通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题奎屯王新敞新疆2.向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用.3.向量的概念：我们把既有又有的量叫向量【注意】1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小奎屯王新敞新疆2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质4.向量的表示：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.5.零向量、单位向量概念：①长度为的向量叫零向量，记作0奎屯王新敞新疆0的方向是任意的奎屯王新敞新疆注意0与0的区别奎屯王新敞新疆②长度为的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.6.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.7.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.【说明】（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．.8.平行向量(共线向量)：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.【说明】（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【探究】1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为AB，需要学生注意的是：AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量有大小、方向,还有作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2.向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量a，b，a＞b，或a＜b”这种说法是错误的.3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.4．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段【例题解析】例1判断下列说法是否正确，若不正确，请简述理由.①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2下列命题正确的有①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线③向量a与ｂ不共线，则ａ与ｂ④有相同起点的两个非零向量不平行例3回答下列问题，并简述理由.海安县实验中学高中数学导学案高一数学备课组1．平行向量是否一定方向相同？2．不相等的向量是否一定不平行？3．与零向量相等的向量必定是什么向量？4．与任意向量都平行的向量是什么向量？5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？6．两个非零向量相等的条件是什么？7