毕业论文--线性空间的直和分解的若干方法

线性空间的直和分解及相关性质张海诚数学计算机科学学院摘要：线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出了线性空间V分解为它的线性变换的核Ker与象Im的直和的一个充分条件为为幂等变换，并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解的关系。此外，也探究了直和运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。关键词：线性变换；幂等变换；Jordan标准型；直和分解；直和运算ThestraightsumdecompositionoflinearspaceandrelatedpropertiesZhangHaichengSchoolofmathematicsandcomputerscienceAbstract:Thetheoremwhichisthestraighesumdecompositionoflinearspacehasbeenwidelyappliedinmanyfiledsofmathematics.Inthispaper,wehaveestablishedasufficientconditionthatlinearspaceVisdecomposedtothedirectsumofLineartransformationkernelKerandimageIm,whichistheidempotenttransformation.Besides,Atheoremwhichisthestraightsumdecompositionoflinearspaceunderalineartransformationpolynomialisgiven,andtherelateresultisgeneralized.Inaddition,wohavealsoexploredsomerelatedpropertiesoftheoperationsfordirectsum,andthestraightsumdecompositionofinfinitedimensionallinearspace.Keywords:lineartransformation;idempotenttransformation;Jordanstandard;straighesumdecomposition;straighesumoperation线性空间写成其子空间直和的若干方法:一.V分解为Ker与Im的直和的条件1.问题的提出设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，在V是有限维向量空间的情形，我们有：的核Ker与的象Im的维数之和等于V的维数，即：dimKer+dimIm=dimV这就提出这样一个问题：V能否分解为的核Ker与象Im的直和？虽然子空间Ker与Im的维数之和等于dimV，但是Ker+Im并不一定是整个空间V。例如，在线性空间nFx中，求导数D的象ImD（）=n-1Fx，D的核KerD（）=F.显然，F+n-1FxnFx,更不会有nFx=Fn-1Fx成立.那么，满足什么条件，V能分解为Ker与Im的直和呢？1.1V分解为Ker与Im的直和的条件我们先证明一个引理.引理1.1.1设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，并且满足2=（为幂等变换），则Ker={-（）：V}.证明令W={-（）：V},先证明KerW.对任意的Ker，有（）=，因此=-=-（）W，即得KerW.其次证明，WKer.对任意的W，存在V，使得=-（）.由于2=，则对任意的V，有2=（）（）.于是（）=（-（））=（）2-（）=.即：（）=，可得：Ker（），因此WKer.综上所证，可得Ker=W，引理得证.由引理可得如下定理：定理1设是数域F上线性空间V的一个线性变换，并且满足2=，则有V=KerIm（）（）证明由引理Ker={-（）：V}.则对任意的V，有=（-（））+（）.即：Ker+Im（）（），所以VKer+Im（）.而显然有Ker+Im（）V，于是V=Ker+Im（）.此外，对任意的KerIm（），有：Ker且Im（）.由Ker，得（）=;而Im（），故存在V，使得=（）.此时，=（）=2（）=（）=.即：对任意的KerIm（），有=.由此KerIm（）={}，因此V=KerIm（）（）.1.2上述定理，条件2=不是必要的.我们看下面的例子例1令4F表示数域F上四元列空间，取矩阵A=1-15-111-233-18113-97对任意的4F，令（）=A，则阵乘变换是一个线性变换，且的核Ker是以A为系数矩阵的四元齐次线性方程组的解空间.求解齐次线性方程组AX=，得一组基础解系337=-22T（10），4=-1T（-201）.因此Ker=L（3，4）.而的象Im为A的列空间，可得Im=L（1，2）,这里1=T（1131），2=T（-11-13）.因为1，2，3，4线性无关，从而作成4F的一个基，故：4F=Ker+Im.并且有dim4F=dimKer+dimIm，因此4F=KerIm.但此时，2.事实上，存在1=T（1000）4F，使得2211()()A=T（14-127-16），（1）=A1=T（1131），即：211()()，因此，2.所以，在定理中，条件2=不是必要的.定理1说明了线性空间V上的幂等变换能够使V=KerIm成立，即给V带来了直和分解.为幂等变换是V分解为Ker与Im的直和的充分而不必要条件.然而，如果已知线性空间V的一个直和分解，则由该直和分解同样也可带来幂等变换.定理2设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW.任取V，设=1+2，其中1U，2W.令u：VV，=1+21.则u是V上的一个线性变换，称u是平行于W在U上的投影，它满足u（）=,UW当，当（1）且满足（1）式的V上的线性变换是唯一的.证明由于V=UW，因此表示成U的一个向量与W的一个向量之和的方式唯一，从而u是V到V的一个映射。任取V中两个向量=1+2，12，其中1、1U，2、2W，则1+1U，2+2W.从而u（+）=u[（1+1）+（2+2）]=1+1=u（）+u（）.u（k）=u（k1+k2）=k1=ku（），kF.因此，u是V上的一个线性变换.如果U，则=+，从而u（）=；如果W，则=+，从而u（）=.设V上的线性变换也满足（1）式，任取V，设=1+2,其中1U，2W.则（）=（1+2）=（1）+（2）=1+=1=u（），因此，=u.类似地，定义w（）=2，则w也是V上的一个线性变换，称它为平行于U在W上的投影.系1设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW，则投影变换u、w均是V上的幂等变换，而且u与w是正交的.证明任取V，设=1+2，1U，2W，则2u（）=u（u（））=u（1）=1=u（）；uw（）=u（w（））=u（2）=；wu（）=w（u（））=w（1）=;因此，2u=u，uw=wu=，类似有2w=w.以上定理说明线性空间V上的幂等变换与线性空间的直和分解有着密切的关系，我们有必要研究幂等变换的性质.系2设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，是幂等变换的充要条件是rank（）+rank（-）=n.二.线性空间在线性变换多项式下的直和分解首先给出线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解定理：引理2.1()fx，()gxPx，且((),())fxgx=1，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，()()fg.则Im（()f）=Ker（()g），Ker（()f）=Im（()g）.证明任取Im（()f），则存在V使得：=()f.所以()g=()g[()f]=()f()g==.从而Ker（()g），即Im（()f）Ker（()g）.另一方面因为（()fx，()gx）=1，所以存在(),()uxvxPx，使得()()()()1uxfxvxgx即：()()()()ufvg.任意Ker（()g），即()g=.所以=()()()()ufvg=()()uf=()[()fuIm（()f）.因此Ker（()g）Im（()f）.故：Im（()f）=Ker（()g）.同理可证Ker（()f）=Im（()g）.定理3（空间分解定理）设1212()()()()srrrsffff，()if(1,2,,)is为不可约多项式且彼此不同，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，()f.则12sVVVV，其中:(),,(1,2,,)iriiVfVis.证明分3步完成1）令()()(1,2,,)()iirifgisf则（(),()iriigf）=1，()()iriigf=()f=.所以()iiVgV=Im（()ig），(1,2,,)is.2）又12((),(),,())1sggg，则存在(),(1,2,,)iuPis使得1122()()()()()()1ssugugug.即：1122()()()()()()ssugugug.任取V，则1122()()()()()()ssugugug=12s，其中()()iiiug=()[()iiguImg()i=iV，(1,2,,)is.所以V=12sVVV.3）假设iiV=Im（()ig），(1,2,,)is，1s++=即Vii，()iriif=(1,2,,)is.又()|()jrjjfg（ji，,1,2,,)ijs，则()igj=（ji）.而()ig（1s++）=，所以()igi=，(1,2,,)is.又（(),()iriigf）=1，所以有多项式()r，()h使得：()()()()1iriihfrg，即有：()()()()iriiiiihfrg，(1,2,,)is故：12sVVVV.定理4设线性变换的特征多项式为()f，它可以分解成一次因式的乘积：11()()()srrsf.则V可以分解成不变子空间的直和：12sVVVV，其中:(),iriiVV.定理5设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，()m为的最小多项式，且()m=12()()()sPPP，其中()iP为不可约因子且（(),()ijPP）=1（ji，,1,2,,)ijs.则12sVVVV，其中:()iiVPV，(1,2,,)is.以上三个直和分解定理均是Hamilton-Cayley定理的重要应用.线性空间直和分解问题在数学、力学、物理学及许多领