10-5第二类曲面积分

第二类曲面积分第五节第十章一、第二类曲面积分的概念及性质二、两类曲面积分之间的联系三、第二类曲面积分的计算一、第二类曲面积分的概念及性质观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧也随之连续改变方向.若当点P不越过的边界回到出发的位置时，双侧曲面:处的法向量，取定点PPPn则当点的一个指向,n上连续移动时，在的指向不变，则称n是双侧曲面.典型双侧曲面为称单侧曲面.否则，1.曲面的分类莫比乌斯带典型单侧曲面:对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向决定了侧的曲面称为有向曲面.来确定.闭曲面的侧)1(为闭曲面设内侧：外侧：.的外面指向法向量n的里面；指向法向量n非闭曲面的侧)2(2.曲面的侧与有向曲面上、下侧)1),(yxzz：若),(:zn轴上侧);(0cos,P为锐角),(:zn轴下侧).(0cos,P为钝角yxzO左、右侧)2),(zxyy：若),(:yn轴右侧);(0cos,P为锐角yxzO),(:yn轴左侧).(0cos,P为钝角前、后侧)3),(zyxx：若),(:xn轴前侧);(0cos,P为锐角(后)(钝))(时当0cos)()(γσSxyxy3.有向曲面的投影面上的在xOyS在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔS,为的投影xyS)(,)(表示投影区域的面积其中xyσ轴正向为法向量与zγ的夹角.类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.注意:投影有正负之分.时当0cos)(γσxy时当0cos0γ4.引例流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.(假定密度为1)(1)若是面积为S的平面域,单位法向量：流速为常向量则单位时间内流量为注.无关：与tv稳定流动；=常数：不可压缩流体.Svnene斜柱体的体积：(2)若为有向曲面,流速：iv“分割,近似,求和,取极限”iini10limλSvneine),,(iiiSzyxzyxvnd),,(e),,(iniSvie5.定义10.5设Σ是分片光滑的有向曲面,向量值函数kzyxRjzyxQizyxPzyxF),,(),,(),,(),,(在Σ上有界,处上点是有向曲面),,(),,(ezyxzyxn的单位法向量,如果积分SzyxzyxFnd)],,(e),,([存在,则称此积分为在有向向量值函数),,(zyxF曲面上沿指定侧的第二类曲面积分,记为SzyxFd),,(SzyxzyxFnd)],,(e),,([注1º第二类曲面积分的其他表达形式则),,(),,(zyxezyxFnkzyxRjzyxQizyxPzyxF),,(),,(),,(),,(SdSd][γzyxRβzyxQαzyxPcos),,(cos),,(cos),,(SαzyxPdcos),,(SβzyxQdcos),,(SγzyxRdcos),,(SzyxFd),,(，若记kjizyxncoscoscos),,(e)1(通常把上式三项分别记作zyzyxPdd),,(SαzyxPdcos),,(xzzyxQdd),,(SβzyxQdcos),,(yxzyxRdd),,(SγzyxRdcos),,(因此第二类曲面积分又记为yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,()2(SzyxFd),,(P(x,y,z)在上对坐标y,z的曲面积分Q(x,y,z)在上对坐标z,x的曲面积分R(x,y,z)在上对坐标x,y的曲面积分kγjβiαzyxencoscoscos),,(SzyxezyxFnd)],,(),,([SzyxFd),,(SzyxSnd),,(ed——有向曲面元)dcos,dcos,dcos(SSS同方向与ne于是SzydcosddcosdScosdScosdSSxzdcosddSγyxdcosdd分别在x轴、y轴、z轴上的投影有向曲面元Sd2º投影转换关系面面积时曾证明：在二重积分应用，求曲)0(cosdcosdS0cos去掉限制：xySS)(dcosd可得到：yxddSdcosxyS)(dzyddSdcosyzS)(d同理可得xzddSdcoszxS)(d3º第二类曲面积分中dxdy,dydz,dzdx的意义,0cos则轴的柱面时，为母线平行于若z从而必有,0cosdddSyx0dd),,(yxzyxR如：)(:222azhayx0ddyxz但注意：0dSz4º；表示封闭曲面上的积分记号7.ddddddyxRxzQzyP存在性：上在分片光滑的有向曲面若),,(zyxF连续，则.d),,(存在SzyxF指定侧流向通过以流速nRQPv),,,(流体的流量为:5º6º6.性质线性性质：)1(SFβSFαSFβFαddd][2121可加性：)2(的和拼接而成，并且和由2121,侧一致,则SFSFSFddd21(3)有向性:用Σ－表示与Σ取相反侧的有向曲面,SFSFdd则研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧.1R，二、两类曲面积分之间的联系由第二类曲面积分的定义可知，yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,(SγzyxRβzyxQαzyxPd]cos),,(cos),,(cos),,([SzyxFd),,(SzyxzyxFnd)],,(e),,([即.),,()cos,cos,(cos),,(e处的单位法向量上点是有向曲面其中zyxzyxn例1计算xzyzyxfzyxzyxfIdd]),,(2[dd]),,([yxzzyxfdd]),,([1zyxf是平面为连续函数，其中.在第四卦限部分的上侧解的法向量：)1,1,1(n)31,31,31(en单位法向量：上侧+31cos,31coscosxyzOSzfyfxfd]31)()31()2(31)[(SRQPId)coscoscos(Szyxd)(31Sd131212622131n)1,0,0()0,0,1()0,1,0(1zyx三、第二类曲面积分的计算情形1),,(yxzz上侧，投影区域为,xyDxyDyxzz在),(上具有一阶.),,(上连续在zyxRΣ在xOy面上的的单位法向量为曲面),(yxzz基本思路:计算二重积分转化求曲面积分?dd),,(yxzyxR需求：若Σ:连续偏导数，22222211,1,1eyxyxyyxxnzzzzzzzz22222211,1,1eyxyxyyxxnzzzzzzzz2211cosyxzzγ取曲面的上侧yxzyxRdd),,(根据第一类曲面积分的计算方法，有xyDyxzyxR)],(,,[xyDyxyxzyxRdd)],(,,[SγzyxRdcos),,(2211yxzzyxzzyxdd122yxzyxRdd),,(xyDyxzyxR)],(,,[xyDyxyxzyxRdd)],(,,[若有向曲面Σ取下侧时，类似可得yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[+上侧为正，–SγzyxRdcos),,(2211yxzzyxzzyxdd122下侧为负.前侧,),(),,(:yzDzyzyxxyzDzyzyzyxPzyzyxPdd],),,([dd),,(2情形–(后)右侧,),(),,(:zxDxzxzyyzxDxzzxzyxQxzzyxQdd]),,(,[dd),,(注1°对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(左)3情形–与对坐标的二重积分Dyxyxfdd),(区别：:dd),(Dyxyxf元素：上的有界闭区域，面积面是与方向无关，xoyD0dddyx.dd),(Σ的区别及联系曲面积分yxyxf2°联系：为上侧时，由计算法知当Dyxyxfyxyxfdd),(dd),((下)-.:面上的投影区域在xoyD:dd),(yxyxf有向曲面，投影：是空间的方向有关，与.0cos00cos,d0cos,ddd时当时当时当yx,ddyxxyz计算例2其中Σ是球面.0,01222的部分外侧在yxzyx解两部分和分成把21;1:221yxz,1:222yxz12ddddddyxxyzyxxyzyxxyzxyDyxyxxydd122xyDyxyxxydd)1(22xyzODxy112xyDyxyxxydd1222.152d1cossind2221020对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数的对称性？思考:下述解法是否正确:根据对称性0ddyxxyz注),,(zyxR是光滑的有向曲面，设面及其侧关于若上连续在xOy.对称，则yxzyxRdd),,(.0:1部分在z),,(),,(,0zyxRzyxR),,(),,(,dd),,(21zyxRzyxRyxzyxR所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算2,1,dddddd222zzyxzyxzxzxzyyID例3解(方法1)在yOz坐标面上的投影均为,21,:zyzDyzΣ分为前后两片曲面，0ddzyy被积函数对变量x是偶函数0ddxzx同理)41:(22yxDxyxyDyxyxd)d(22212π20dd.π215Σ2dd00yxzI(方法2)投影转换法SzydcosddSxzdcosddSγyxdcosddyxddcoscosyxddcoscos的法向量：)1,,(yxffn,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxffyxfxddyxfyddyxffRQPyxdd)1,,(),,(ΣyxRxzQzyPIdddddd)21(Σ22zyxz：yxRyxfQyxfPyxdddd)(dd)(yxRfQfPyxdd])()([向量点积法yxyxyyxxdd1,,2222Σ2),,(zxyyxyxyyxxzxyIdd1,,),,(2222Σ2yxzdd2xyDyxyxdd)(2241:22yxDxy212π20dd.π215下侧：),21(22zyxz例4计算yxxzxzzyzyyxIdd)(dd)(dd)(解(方法1