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衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强,难度大,考试要求高.近年,高考、模考中有关“等和线定理”(以下简称等和线)背景的试题层出不穷.学生在解决此类问题时,往往要通过建系或利用角度与数量积处理,结果因思路不清、解题繁琐,导致得分率不高.在平时教学中,我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢?带着这个问题,笔者设计本微型专题.二、等和线定理平面内一组基地OA,OB及任一向量OC,OCOAOB,R,若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上,则k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”.(1)当等和线恰为直线AB时,k1;(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k0,1;(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k1,;(4)当等和线过O点时,k0;(5)若两等和线关于O点对称,则定值k互为相反数;(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比;xy简证,如图1若OCOD,那么OCxOAyOBOAOBOD,从而有xy1,即xy.另一方面,过C点作直线l//AB,在l上任作一点C',连接OC'ABD',同理可得,以OA,OB为基底时,OC'对应的系数和依然为.三、定理运用(一)基底起点相同例1:(2017年全国Ⅲ卷理科第12题)在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,若APABAD,则的最大值()A.3B.22C.5D.2【分析】如图2,由平面向量基底等和线定理可知,当等和线l衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633衡阳市数学学会与圆相切时,最大,此时AFABBEEF3AB3,故选A.ABABAB练习1:(2006年湖南卷15题)如图3所示,OM//AB,点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OPxOAyOB(1)则x的取值范围是;(2)当x1时,y的取值范围是.2【分析】(1),根据题意,很显然x0;(2)由平面向量基底等和线定理可知,0xy1,结合x12,可得12y32.练习2:(衡水中学2018届高三二次模拟)如图4,边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含短点)上运动,P是圆Q上及其内部的动点,设向量APmABnAFm,nR,则mn的取值范围是()A.1,2B.5,6C.2,5D.3,5【分析】如图5,设APmABnAF,由等和线结论,mnAG2AB2.此为mn1ABAB的最小值;同理,设APmABnAF,由等和线结论,mnAH5.此为mn2AB的最大值.综上可知mn2,5.衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633衡阳市数学学会(二)基底起点不同例2:(2013年江苏高考第10题)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,且有AD12AB,BE23BC,若DE1AB2AC1,2R,则12的值为【分析】过点A作AFDE,设AF,BC的延长线交于点H,易知AFFH,即AFFH,即DF为BC的中位线,因此1212.练习3:如图7,在平行四边形ABCD中,M,N为CD的三等分点,S为AM与BN的交点,P为边AB上一动点,Q为SMN内一点(含边界),若PQxAMyBN,则xy的取值范围是.【分析】如图8所示,作PSAM,PTBN,过I作直线MN的平行线,由等和线定理3可知,xy,1.4(三)基底一方可变例3:在正方形ABCD中,如图9,E为AB中点,P以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设ACxDEyAP,则xy的最小值为.衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633衡阳市数学学会【分析】由题意,作AKDE,设ADAC,直线AC与直线PK相交与点D,则有ADxAKyAP,由等和线定理,xy1,从而xy1,当点P与点B重合时,如图10,max2,此时,xymin12.练习4:在平面直角坐标系xoy中,已知点P在曲线:y1x42x0上,曲线与x轴相交于点B,与y轴相交于点C,点D2,1和E1,0满足ODCEOP,R则的最小值为___.【分析】作CEOA,令OD1xOD,有OD1xOAxOP,由等和线定理,xx1,所以1x,如图11,再由等和线定理,得min12.(四)基底合理调节例题4:(2013年高考安徽理科卷)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足OAOBOAOB2,则点集POPOAOB,1,,R所表示的区域面积是()A.22B.23C.42D.43【分析】由OAOBOAOB2可知,OA,OB3.如图12所示,当0,0时,若1,则点P位于线段AB上;当0,0时,若1,则点P位于线段AB'上;当0,0时,若1,则点P位于线段A'B上;当0,0时,若1,则点P位于线段A'B'上;又因为1,由等和线定理可知,点P位于矩形ABA'B'内(含边界).其面积S4SAOB43.衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633衡阳市数学学会练习5:如图13所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若OCmOAnOB,则mn的取值范围是.【分析】作OA,OB的相反向量OA1,OB1,如图14所示,则AB//A1B1,过O作直线l//AB,则直线l,A1B1为以OA,OB为基底的平面向量基本定理系数等和线,且定值分别为0,1,由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,所以点C在直线l与直线A1B1之间,所以mn1,0.练习6:如图15,在扇形OAB中,AOB3,C为弧AB上的一个动点,若OCxOAyOB,则x3y的取值范围是.【分析】,令OB'OB,依题意,OCxOA3yOB33重新调整基底OA,OB'.显然,当C在A点时,经过k1的等和线,C在B点时经过k3的等和线,这两个分别是最近跟最远的等和线,所以系数和x3y1,3.(五)“基底+”高度融合例5:已知三角形ABC中,BC6,AC2AB,点D满足AD2xAByAC,设fx,yAD,fx,yfx,y恒成立,2xyxy00则fx0,y0的最大值为.【分析】衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1:如图16所示,以BC为x轴,中垂线为y轴建立直角坐标系,易知点B的轨迹方程是x52y216.取AC中点F,延长AB到E,且ABBE.于是,AD2xAByAC,ADx2ABy1AC,即有xy2xyxyxy2ADxAEyAF,从而DEF,进一步得到xyxyfx,yfx0,y0AK,且有AK2BG,因为EF恒过ACE重心H,所以AK2BG2BH4,即fx0,y0max4.思路2:如图17所示,同上分析,DEF.当ADEF时,fx,yAD取得最小值,此时fx0,y0AD.易知ABCAEF,则ADAHr4.四、解题总结1、确定等值线为1的直线;2、平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;3、从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系,将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题,这是数形结合思想的非常直接的体现。运用等和线原理解题,过程方便、准确率高,极大提升了学生的学习热情与兴趣.2018年5月16日衡阳市高中教师数学交流QQ群:731847633
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