3.二次函数与几何图形结合综合题

专题三二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关类型二与特殊四边形形状有关类型三与三角形相似有关类型四与图形面积函数关系式、最值有关类型五与线段、周长最值有关专题三二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关典例精讲例如图，抛物线与x轴交于A（x1,0），B（x2,0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.（1）求这条抛物线的解析式；（2）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵x2-2x-8=0,∴(x-4)(x+2)=0∴x1=4,x2=-2.∴A(4,0),B(-2,0).设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则解得a=-,b=1,c=4,∴所求抛物线的解析式为:y=-x2+x+4.41640420cabcaac1212（2）存在5个符合条件的Q点分别为：Q1（1，1），Q2（1，），Q3（1，-），Q4（1，），Q5（1，）.由（1）可得抛线的对称轴为,设点Q（1，n），∵B(-2,0),C(0,4)，∴BQ=,CQ=,BC=.11114194191112()2x223n21(4)n41625①当BQ＝CQ时，则32+n2=12+(n-4)2,解得：n=1,即Q1(1,1);②当BC＝BQ＝时，9+n2=20,解得：n=±，∴Q2（1，），Q3（1，-）；③当BC＝CQ＝时，1+(n-4)2=20,解得：n=4±，∴Q4（1，4+），Q5（1,4-）.综上，存在点Q，其坐标分别为（1,1）,(1,),(1,-),(1,4+),(1,4-).112511112519191919191111【备考指导】等腰三角形存在性问题的步骤（以本题第（2）问为例）：1.找到三角形三个点的坐标Q、B、C；2.利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边QB、QC、BC；3.如果没有确定哪条边为腰，则分三种情况讨论：（1）当QB＝QC时；（2）当QC＝BC时；（3）当QB＝BC时；4.综上：存在Q点，其坐标为（1，1），（1，），（1，-），（1，4+），（1，4-）.22()(),ABABABxxyy11111919专题三二次函数与几何图形综合题类型二与特殊四边形形状有关例如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）.直线与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.典例精讲解：（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，∴A(-1,0),B(3，0).将C点的横坐标x=2代入抛物线得y=-3，∴C（2，-3），∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；（2）存在这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）.77①当AC为对角线时，如解图①，AF1＝CG1＝2，A点的坐标为（-1，0），因此F1点的坐标为（1，0）；②当AC为边且点F2在x轴负半轴抛物线的左侧时，如解图②，连接C点与抛物线和y轴的交点，那么CG2∥x轴，此时AF2＝CG2＝2，因此F2点的坐标是（-3，0）;③当AC为边且点F3在x轴正半轴抛物线的右侧时，如解图③，此时C，G3两点的纵坐标关于x轴对称，因此G3点的纵坐标为3，代入抛物线中得出G3点的坐标为（1+，3），G4点的坐标为（1-，3）.由于直线GF3∥AC，则设直线G3F3的解析式为y=-x+h，77将G3点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+，因此直线G3F3与x轴的交点F3的坐标为（4+，0）.77同理可求出F4的坐标为（4-，0）.综上四种情况可得，存在4个符合条件的F点坐标为（1，0），（-3，0），（4+，0），（4-，0）.777【备考指导】平行四边形存在性问题的步骤（以本题第（2）问为例）：1.找到平行四边形四个点A、C、F、G中确定点的坐标；2.找平行四边形.若没有确定哪条边为平行四边形的边，则分四种情况：（1）AC为对角线，（2）AC为边，作AC的平行线，找到3个点G，即有三种情况；3.综上，存在点F，其坐标为F1（1，0），F2（-，0），F3（4+，0），F4（4-，0）.777题型三二次函数与几何图形综合题类型三与三角形相似有关例（2012常德）如图，已知二次函数y＝(x+2)·(ax+b)的图象过点A（-4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式;（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.典例精讲148（1）解：由题意得，函数图象经过点A（-4,3）,B(4,4),故可得：解得：故二次函数解析式为:y=(x+2)(13x-20);13(42)(4)4814(42)(4)48abab1320ab148（2）证明：由（1）所求函数解析式可得点C坐标为（-2，0），点D坐标为(,0),又∵点A（-4,3）,B(4,4),2013∴AB=,AC=,BC=,∴AB2=AC2+BC2,∴△ACB是直角三角形；22(44)(43)6422(24)31322(44)(40)52（3）解：存在，点P的坐标为（，）或（，）.设点P坐标为(x,(x+2)(13x-20)),则H（x,0）,由抛物线解析式可得D(,0)，∴PH＝（x+2）(13x-20),HD=-x+,50133513122132841314820131482013①若△DHP∽△BCA,则，即，解得：或(舍去)，代入可得，即P1(，)；PHDHACBC120(2)(1320)48131352xxx5013x2013x3513PH50132013②若△PHD∽△BCA,则，即，解得或(舍去)，代入可得，即P2坐标为（，）综上，满足条件的点P有两个，即（，）、(,).PHDHBCAC120(2)(1320)48135213xxx12213x2013x3513PH3513284131221328413122135013【备考指导】三角形相似存在性问题的步骤（以本题第（3）问为例）：1.找到△PHD三个顶点P、H、D的坐标；2.利用两点之间的距离公式AB=，表示出三角形两直角边PH、HD的长；3.分两种情况讨论：①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA；4.综上，存在点P，其坐标为P1(,)、P2（，）.22()()ABABxxyy501335132841312213题型三二次函数与几何图形综合题类型四与图形面积函数关系式、最值有关例（2015攀枝花）如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.典例精讲（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由，解得，∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3.…………(2分)一题多解：由题意可知点A（-1,0）、点B（3,0）是抛物线与x轴的两个交点，∴抛物线的解析式为y=－(x+1)(x－3)=－x2+2x+3.10930bcbc23bc（2）设D（t，-t2+2t+3），如解图①，作DH⊥x轴交BC于点H，∵抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，∴C(0,3),又∵B(3，0)，∴直线BC的解析式为y=-x+3，∴H（t,-t+3）,∴水平宽a=xB-xC=3-0=3,铅垂高h=yD-yH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,∴S△BCD=ah=(-t2+3t)=-t2+t=-(t-)2+.∵-＜0，∴当t=时，即D的坐标为（，）时，S△BCD有最大值，且最大面积为.123232329227832323232154278（3）存在.∵P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点为Q1，即为所求Q点之一，∵直线BC为y＝-x+3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝-x+5，由，解得，∴点Q1的坐标为（2，3）.2523yxyxx1123xy2214xy∵直线PM为直线x＝1，直线BC的解析式为y＝-x+3，∴M（1，2）.设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝-x+1，从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点即为Q2、Q3,也为所求Q点之一，由，2123yxyxx解得，∴Q2(,),Q3(,),∴满足条件的Q点为Q1（2，3），Q2（，），Q3(,).1131721172xy2231721172xy31721172317211723172117231721172【备考指导】一、面积函数关系式最值问题的解题步骤（以本题第（2）问为例）1.三角形三个顶点的位置（左、中、右）水平宽a=x右-x左（即最右点的横坐标-最左点的横标）；2.过中间点作x轴的垂线交对边于点F，则F点的横坐标与中间点相同，纵坐标为对边直线解析式，铅垂高h=y上-y下；3.利用S=12ah，得到关于x的二次函数，将二次函数配成顶点式求出面积的最大值，再将x值代入动点的坐标中，求出坐标即可.二、面积数量关系问题的解题步骤（以本题第（3）问为例）：1.利用平行线间的距离处处相等找点，分两种情况：（1）过点P作平行于BC的直线，交抛物上的上半部分，（2）作平行于BC的直线交抛物线的下半部分（两个交点）；2.综上，存在点Q，其坐标为(2,3)或（，）或（，）.3172117231721172解得，∴Q2(,),Q3(,),∴满足条件的Q点为Q1（2，3），Q2（，），Q3(,).1131721172xy2231721172xy31721172317211723172117231721172题型三二次函数与几何图形综合题类型五与线段、周长最值有关典例精讲例（2015德州节选）已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0），B（β，0），且.112（1）求抛物线的解析式.（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意可知：α，β是方程-mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，，αβ＝-2.∵，∴.即.∴m=1.故抛物线的解析式为y=-x2+4x+2.1124m2422m（2）存在x轴上的点M、y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小.∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为（2，6）.又∵抛物线与y轴交点C（0，2），点E与点C关于直线l对称，∴E点坐标为（4，2）.作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′,则D′点坐标为（-2，6），E′点坐标为（4，-2）