【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第一章 第一节 集合教案 文

1第一节集合【考纲下载】1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B2空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅；(3)A∪A＝A，A∪∅＝A；(4)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.1．集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．3．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n－1个真子集．1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0}C．{0,1}D．{－1,0,1}解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．2．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋10}，B＝{－2，－1，0,1}，则(∁RA)∩B＝()3A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}解析：选A因为A＝{x|x＋10}＝{x|x＞－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1}．3．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4解析：选A若a＝0，则A＝∅，不符合要求；若a≠0，则Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.4．(教材习题改编)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，∴B⊆A，∴B＝∅，{1}，{2}，{1,2}．即集合B有4个．答案：45．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为__________．解析：阴影部分是A∩∁RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}．答案：{x|1≤x＜2}前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解．[典例](2013·广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S4C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[解题指导]先要理解新定义集合S中元素的性质：(1)x，y，z∈X；(2)x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征．[解析]法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，则有x＜y＜z，①y＜z＜x，②z＜x＜y，③三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)∈S，则有z＜w＜x，④w＜x＜z，⑤x＜z＜w，⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种，①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种，①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种，②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种，③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S.[答案]B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素的大小关系进行分类讨论．(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解．有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少．例如，对于集合A＝{1,2,3，…，n，…}与B＝{2,4,6，…，2n，…}，我们可以设计一种方法得出A与B的元素个数一样多的结论．类似地，给出下列4组集合：①A＝{1,2,3，…，n，…}与B＝{31,32,33，…，3n，…}；②A＝(0,2]与B＝[－3，＋∞)；③A＝[0,1]与B＝[0,3]；④A＝{x|－1≤x≤3}与B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}．其中，元素个数一样多的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：选D可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合．5①y＝3x(x∈N*)；②y＝1x－72(0＜x≤2)；③y＝3x(0≤x≤1)；④y＝－8，x＝－1，x＋1，－1＜x≤0，x2＋1，0＜x≤3.综上，元素个数一样多的有4组．