中考数学圆中常作哪些辅助线

三人行教育培训中心陈老师15065709880圆中常做的辅助线1中考数学圆中常作哪些辅助线通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例1.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO²，即证明PM•PN21=PO²，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理PN21=PC，只需证明PM•PC=PO²，由POCPMOOPMPCPOP。。。。。，“三点定型”法可判断需证明Rt△POC∽Rt△PMO.证明:过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=21PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴POPMPCPO，即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•21PN，∴PM•PN=2PO2.二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例2．已知：△ABC中，∠B=900，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC与D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.求证:CD的长.分析：D为切点，连结DO，∠ODA=900.根据切线长定理CD=CB.DO=EO=半径r，在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~Rt△ABC，求出CD.证明:连结DO∴OD⊥AC于D,∴∠OCP=900.∵AB过O点,∠B=900.∴BC为⊙O的切线,∴CD=CB设CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，AD=2，AE=1ABCDEOPBANOCM三人行教育培训中心陈老师15065709880圆中常做的辅助线2∴(1+y)2=22+y2,∴y=23在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(2+x)2=(1+23+23)2+x2,∴x=3∴CD=3.三、连结公共弦在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。例3．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分别和⊙O2相交于点D、E，求证：AD=BE.分析：⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.证明：连结AB交O2O1于P点，∵O1O2⊥AB且O1O2的平分AB∴CA=CB∴∠ACP=∠BCP∴点O2到线段AD、CE的距离相等∴AD=BE.四、作连心线两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.例4．已知：如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r和⊙B的半径为3r,CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，求：（1）CD的长；（2）CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.解：连结AB、AC、BD∵⊙A和⊙B外切于P点，∴AB过P点∵CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD过A点作AE⊥BD于E，则四边形ACDE为矩形.∴DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r∴AE=rrrBEAB324162222.∴CD=23r.∴COSB=2142rrABBE，∴∠B=600.∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=900+300=1200.∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=43r2－23πr2－31πr2=（43－611π）r2.五、作公切线CABDEO2O1P三人行教育培训中心陈老师15065709880圆中常做的辅助线3分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如本题中，所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.例５．已知：⊙O1和⊙O2外切于点A，ＢＣ是⊙O1和⊙O2外公切线，Ｂ、Ｃ为切点.求证：ＡＢ⊥AＣ证明：过切点Ａ作公切线ＭＮ交ＢＣ于Ｐ点，∵ＢＣ是⊙O1和⊙O2外公切线，∴ＰＢ＝ＰＡ＝ＰＣ∴∠PBA=∠PAB，∠PAC=∠PCA∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA=1800.∴∠BAC=900.∴ＡＢ⊥AＣ.六、切线判定分两种：公共点未知作垂线．．．、公共点已知作半径．．．切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例6．已知：如图，AB是半圆的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=900.求证：DC是半圆的切线.分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，如何证明△DEO≌△DAO呢？证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.又∵∠DOC=900.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圆的半径.∴DC是半圆的切线.O1O2ACBPMN.三人行教育培训中心陈老师15065709880圆中常做的辅助线42．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例7．AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.分析：D在⊙O上，“有点连圆心”，连结DO，证明DO⊥DC即可.证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠DAO=∠DOC∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，又D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.