材料力学-截面的几何性质

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas(PropertiesofPlaneAreas)附录Ⅰ截面的几何性质(AppendixⅠPropertiesofplaneareas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentsofthearea¢roidofanarea)§1-4转轴公式(Rotationofaxes)§1-2极惯性矩惯性矩惯性积(PolarmomentofinertiaMomentofinertiaProductofinertia)§1-3平行移轴公式(Parallel-Axistheorem)(PropertiesofPlaneAreas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentofthearea¢roidofanarea)一、静矩(Thefirstmomentofthearea）OyzdAyz截面对y,z轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.AyAzSdAzAySd(PropertiesofPlaneAreas)yzOdAyz二、截面的形心(Centroidofanarea)CzyASAAzzyAdASAAyyzAdzASyyASz（2）截面对形心轴的静矩等于零.（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.(PropertiesofPlaneAreas)三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea)由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.(PropertiesofPlaneAreas)其中Ai—第i个简单截面面积1.组合截面静矩(Thefirstmomentsofacompositearea)2.组合截面形心(Centroidofacompositearea)1211221niiyyyynnniAzAzAzSSSSAzniiizyAS1—第i个简单截面的形心坐标),(yzii11niiyiniiAzSzAA11niiizniiyASyAA(PropertiesofPlaneAreas)解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例题1试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合AAyAyAAyAyniiniii21221111AAzAzAz212211101012Ozy901y1z2z2y图(a)(PropertiesofPlaneAreas)矩形1矩形2211200mm12010A5mm1y60mm1z22800mm8010A50mm280102ymm25z所以38mm23mm212211212211AAzAzAzAAyAyAy101012Ozy901y1z2z2y(PropertiesofPlaneAreas)方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz212211AAAyAyAAyyii221108090120)11080(5(PropertiesofPlaneAreas)§1-2极惯性矩、惯性矩、惯性积(Polarmomentofinertia、Momentofinertia、Productofinertia)yzOdAyz二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）一、惯性矩(Momentofinertia)AzAyAyIAzIdd22AAIdP2yz222所以yzIIIP(PropertiesofPlaneAreas)yzOdAyz三、惯性积(Productofinertia)AyzAyzId（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；（2）若y，z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea)AIiyyAIizz(PropertiesofPlaneAreas)解：bhyzCzdz例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.AzIAyd2zbAdd12dd32222bhzbzAzIhhAy123hbIz(PropertiesofPlaneAreas)zy解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例题3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.32πPdI4PIIIzyzyII所以64πdIIzy4(PropertiesofPlaneAreas)yzOC(b,a)ba一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia)(b,a)―形心C在yOz坐标系下的坐标§1-3平行移轴公式(Parallel-axistheorem)y,z￣任意一对坐标轴C―截面形心(PropertiesofPlaneAreas)yzOC(b,a)bazCyCyC,zC￣过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）Iy,Iz,Iyz—截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.已知截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyzIyC,IzC,IyCzC￣截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.(PropertiesofPlaneAreas)二、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas）组合截面的惯性矩，惯性积niyiyII1nizizII1niyziyzII1￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.yziziyiIII,,(PropertiesofPlaneAreas)例题4求梯形截面对其形心轴yC，zC的惯性矩.解：（1）将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴zC上.取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.21zCyC140201A801z201002A0z2所以截面的形心坐标为7mm.46212211AAzAzAzCy1z(PropertiesofPlaneAreas)2014010020y21zcyC2z)7.4680(1402014020121231CyI)7.46(2010020100121232CyI46m1012.1221CCCyyyIII（2）确定形心轴为yC和zC轴（3）分别计算4831m1033.920401121CzI4632m1067.110020121CzI4621m1076.1CCCzzzIII（4）求代数和(PropertiesofPlaneAreas)逆時针转取为+号，sincos1zyysincos1yzzAydAzI211zyy１z1dAαy1z1yzαAdAyz2)sincos(AdAz22cosAyzdAcossin2AdAy22sin2sinIsinIcosIyz2z2y§1-4转轴公式(Rotationofaxes)(PropertiesofPlaneAreas)221cossinsin2yyzyzIIII同理2sinIcosIsinIIyz2z2yz1改写为2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2sin2cos221yzzyzyyIIIIII111()sin2cos22yzyzyzIIII并且constIIIIzyzy11sin2a=2sinacosacos(2a)=1-2sin²(a)(PropertiesofPlaneAreas)几个定义：主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0为主惯性轴.主惯性矩：截面对主惯性轴y0,z0的惯性矩.形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩.2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2sin2cos221yzzyzyyIIIIII111()sin2cos22yzyzyzIIII(PropertiesofPlaneAreas)主惯性矩002sin2cos220yzzyzyyIIIIII002sin2sin220yzzyzyzIIIIII计算主惯性矩的第一组公式02cos2sin)(210000yzzyzyIIIIzyyzIIItg220o0090与(PropertiesofPlaneAreas)02cos22sin)(1yzzyyIIIddIzyyzIIItg2202tg求minmax,II惯性矩的极值200+从而确定了一对坐标轴yo和zo200+的方位上惯性积Iy1z1=0该对坐标轴是图形的主轴惯性矩的极值方位就是主轴方位★(PropertiesofPlaneAreas)图形对主轴y0z0的主惯性矩计算2202042tan112cosyzzyzyIIIII22000422cos2tan2sinyzzyyzIIII2yz2zyzyyI4II212III02242120yzzyzyzIIIIII图形对主轴的惯性矩计算主惯性矩的第二组公式(PropertiesofPlaneAreas)constIIIIIIz0yozyzy11几个结论1图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；2在过同一点的所有正交轴中，图形对主轴的惯性矩另一个为最小值；一个为最大值，3此公式适用于水平轴为y轴(PropertiesofPlaneAreas)1确定形心的位置2选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴yc，zc,求形心主惯性矩的步骤IIiyyIIizzIIiyzyzAyAASyn1iCiizCAzAASzn1iciiyC计算图形对形心轴的惯性矩Iy,Iz和惯性积Iyz3确定主惯性轴的位置zyyzIII22tan0200+(PropertiesofPlaneAreas)4计算形心主惯性矩2yz2zyzyyI4II212III02242120yzzyzyzIIIIII5方位与形心主惯性矩的对应关系zyII如果200+中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值(PropertiesofPlaneAreas)例题5计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.过形心C选一对座标轴yz轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz2035AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyz107010121[]101201510120121[323yI424mm.100])25(70(PropertiesofPlaneAreas)mm104.27844zI093.1)2(tan20IzIyIyz00247.62227.6或0023.8113.8或分别由y轴和z轴绕C点逆时针转23.8º或者113.8°得出.形心主惯性轴y0,z044[0152012010][0(25)(35)7010]97.310mmyzI将23.8º和113.8°带入转轴公式：αI