第一讲：期权的定价与波动率

上交所期权策略高级顾问培训上海证券交易所期权的定价与波动率第一讲引子二叉树模型简介B-S模型简介及其应用“波动率”之约附录目录引子二叉树模型简介B-S模型简介及其应用“波动率”之约附录目录-5-回顾期权价格的影响因素•股票期权作为股票的“孩子”，其脾气秉性自然受三方面的影响：自身基因的约束合约类型、行权价、到期日社会大环境的熏陶无风险利率父母亲的言传身教股价、波动率认购期权到期前的价格图形-6-认沽期权到期前的价格图形-7--8-到期前权利金到底值多少钱期权在到期前价格曲线渐渐逼近与到期时的价格折线！认购期权在到期时的价值＝认购期权的内在价值＝max（标的价格－行权价格，0）认沽期权在到期时的价值＝认沽期权的内在价值＝max（行权价格－标的价格，0）我们更在乎的是期权权利金在到期前任一时刻到底值多少钱？关键点：寻找一种方法求出到期前价格曲线的表达式。从一个游戏的入场券说起假如有一个这样的游戏，50%的概率你赢得100USD，50％的概率你输掉20USD，那么这个游戏的入场券应该值多少钱？50%50%从一个游戏的入场券说起该游戏盈亏的期望值＝100*50%-20*50%=40美元。通常而言，我们把风险中性世界下的定价视为公平的定价。所以，门票的合理定价应等于40元。风险中性的人风险偏好的人风险厌恶的人愿意支付40元愿意支付40元以上愿意支付40元以下简单的定价反过来，假如有一只股票，今天的价格为100元，一周后的价格只有两种情况，要么110元，要么90元，那么一个风险中性者会愿意给上涨赋予多少的概率？（若无风险利率为0）S(0)=100S(u)=110S(d)=90简单的定价那么在风险中性世界里，一份行权价为100，一周后到期的认购期权的“公平”定价是多少呢？（若无风险利率为0）S(0)=100S(u)=110S(d)=90C(0)=?C(u)=10C(d)=0想一想“游戏的入场券”？C(0)＝10*50%+0*50%=5小球落在的区域可是如果股价在期权到期日不只两个结果，有“无数”个可能的结果，这份行权价为100的认购期权的“公平”定价又该是多少呢？先来看另一个游戏小球落在的区域如果有足够多的小球滑落进凹槽，我们将会得到小球的分布最终大多数小球会集中在中间区域，两边的小球越来越少。这样的分布就是正态分布！期权定价的基本思想期权定价四部曲：1.列出到期时股价的可能价格2.对每一个价格结果赋予风险中性概率3.计算期权在到期的期望收益(各可能盈亏的平均值）4.折现到现在时刻无套利机会复制资产期权定价的常用方法二叉树模型Black-Scholes模型理论模型蒙特卡洛法有限差分法数值方法•在实际交易运用中，期权定价基本都以计算机计算为主，许多客户端也嵌入了期权价格计算器供客户参考。引子二叉树模型简介B-S模型简介及其应用“波动率”之约附录目录-18-一个简单的例子有一只股票目前为50元，一年后股价只有两种可能：上涨到100元，或下跌至25元。市场无风险利率为5％。那么行权价为50元，合约单位100，一年后到期的欧式认购期权现在到底值多少钱呢？S=5010025C=?500-19-一个简单的例子试想如果我们构造如下投资组合：卖出开仓3张认购期权；买入200股股票；以无风险利率5%借入4762元的现金。S=5010025C=?500-20-一个简单的例子卖出3张认购期权买入200股股票以25%的利率借入4000元资金所持头寸开仓时到期股价＝100到期股价＝25卖出3张认购+300*C-150000买入200股股票-10000+20000+5000资金+4762-5000-5000总和+300*C-523800-21-一个简单的例子如果300C－52380竟然100%赚钱！如果300C－52380竟然100%亏钱！C=?500在期权定价的核心假设（无套利机会的假设）下，不会发生百分之百赚钱或亏钱的情况。所以，只可能使得300C－5238＝0！-22-期权定价的最基本模型：一步二叉树模型让我们来进入这样一个金融市场：市场上有一只无风险收益产品，年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。一年后股价只有两种可能：要么上涨到S(u)，上涨的概率为p(u)，要么或下跌至S(d)，下跌的概率为p(d)。如果另有一份欧式认购期权，行权价K，一年后到期，那么这份认购期权现在到底值多少钱呢？-23-期权定价的最基本模型：一步二叉树模型P(u)P(d)-24-期权定价的最基本模型：一步二叉树模型我们构造以下投资组合来复制期权头寸：投资W1份无风险收益产品；投资W2股标的股票。使得：W1*(1+r)+W2*S(0)(1+u)=C(u)W2*(1+r)+W2*S(0)(1+d)=C(d)无套利机会复制资产-25-期权定价的最基本模型：一步二叉树模型我们可以解出：W1＝[C(d)(1+u)-C(u)(1+d)]/[(1+r)*(u-d)]W2=[C(u)-C(d)]/[S(0)*(u-d)]根据无套利机会的假设!期权价值＝复制资产的价值-26-神奇的发现：风险中性概率这称为风险中性定价法!•我们惊奇地发现q(u)+q(d)=1，正好构成一个概率分布，称为风险中性概率。•期权的定价C(0)等于未来收益在风险中性概率下期望值的贴现值，与真实概率分布p(u)、p(d)无关。记为q（u）记为q（d）练一练某个股票现价为100元。每个时间步的步长为6个月，每个单步二叉树预期股票上涨10％，或下降10％。假设无风险年利率为8％，则行权价格为100的半年期欧式认购期权的价值为多少？-28-P与Q：量化金融的剑宗与气宗•量化金融可以分为两大流派：“Q”与“P”，Q表示风险中性概率，P表示真实概率。•随着复杂衍生品的发展，它们的定价称为了广大投资者最为关心的问题，而“Q”正式它们定价的利器。Q的代表作：1973年B-S－M模型。•在买方进行投资组合管理时，经常需要依据现有的数据刻画资产在未来一段时间内的概率分布，基于该分布，买方才能游刃有余地进行资产配置获取收益，而他们使用的方法正式“P”。P的代表作：Markowitz现代投资组合理论。-29-P与Q：量化金融的剑宗与气宗Q与P的比较：“Q”“P”主要目的衍生品定价（尤其是期权类产品）投资组合管理核心意义从未来收入推断现在价格从现在的信息刻画未来的分布使用环境风险中性测度真实概率测度数理工具随机微积分（stochasticcalculus）多元统计（multivariatestatistics）使用领域做市商报价、场内场外期权产品的定价等对冲基金、资产管理公司构建选股模型等用Excel进行多步二叉树定价•先在表单中构建好股价的二叉树，上述图中我们构建了股票价格的三步二叉树图用Excel进行多步二叉树定价•最终该欧式期权的三步二叉树价格=15.31BS就是二叉树的无限细分我们试想，从开仓时刻0到到期时刻T，把二叉树模型等分为n份，当n趋于无穷大时，便可得到连续时间的期权定价公式，它就是BS公式。BS模型可视为二叉树模型在时间细分上的逼近。引子二叉树模型简介B-S模型简介及其应用“波动率”之约附录目录BS模型简史早在1900年，法国天才数学家L.Bachelier就假设股价服从正态分布，在自己的博士毕业论文《投机理论》中首次探讨了期权价值的问题。BS模型简史P.Samuelson说道:“我今天以100美元的价格购买通用公司的股票，它最多跌到零，到时我只需撕掉股东凭证并大步离开”。P.Samuelson发现了对数的重要作用，将股票的收益率看成是正态分布，从而股价服从对数正态分布。从正态分布到对数正态分布•将股价假设为正态分布真的合理吗？•股价可能变化到0以下吗？P.Samuelson为什么对数正态分布比正态分布更好•第一、服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这与公司股票的有限负债特征一致。•第二、在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百分比表示的价格变化会相同的分布。•第三、当时交易所的观察到的数据与对数正态分布模型也相当的一致。BS模型简史伊藤清用一个简洁明了的三项相加的等式刻画了无数个随机变量的变化关系。伊藤的成果于20世纪80年代以后在金融领域得到广泛应用，他因此被称为“华尔街最有名的日本人”。BS模型简史BlackScholesMerton-40-BS模型的八大假设假设一股价变化服从对数正态分布-41-BS模型的八大假设假设二两恒定：无风险利率、波动率期权创设日期权到期日-42-BS模型的八大假设假设三市场不存在无风险套利机会-43-BS模型的八大假设假设四市场上不存在任何交易成本无交易、结算费!无佣金！无税费！-44-BS模型的八大假设假设五该期权是欧式期权只能到期日当日才能行权，正如电影票是能在设定的时间附近才能进场。-45-BS模型的八大假设假设六投资者的借贷利率相同借入利率借出利率-46-BS模型的八大假设假设七市场允许卖空标的证券-47-BS模型的八大假设假设八证券交易单位是无限可分的无限可分：我可以买卖100股、10股、1股、0.1股、0.01股……回顾期权定价的四部曲当股价服从对数正态分布时，期权的“公平”定价依然是期权到期时各个可能的价值在风险中性概率下的期望值！！！回顾期权定价四部曲：1.列出到期时股价的可能价格2.对每一个价格结果赋予风险中性概率3.计算期权在到期的期望收益4.折现到现在时刻BS公式按照这四部曲的思维，并在上述假设下，Black和Scholes合作推导出了下列著名的Black－Scholes微分方程：BS公式的说明说明一：N(.)表示为标准正态分布函数；说明二：期权的定价与预期收益率μ无关；说明二：公式中的r、σ、T都是年化后的值；说明四：B-S公式不是不考虑风险溢价，而是把风险溢价都已经包含在S、σ中。以欧式认购期权定价公式为例：期权定价计算三部曲例如：50ETF在2015.4.30报收3.198元，无风险利率取为3.925%，年化波动率取为30%，则50ETF行权价为3.200元、还剩142天到期的欧式认购和认沽期权价值为多少？（假设期间不支付红利）S=3.198,K=3.200,r=3.925%,σ=30%,T=0.389第一步：先计算出d1和d2：期权定价计算三部曲S=3.198,K=3.200,r=3.925%,σ=30%,T=0.389第三步：代入BS公式：C=3.198*0.5680-3.200*exp(-3.198%*0.389)*0.4822=0.2606P=3.200*exp(-3.198%*0.389)*0.4320-3.198*0.5178=0.2141第二步：计算出N(d1)和N(d2)：N(d1)=N(0.1718)=0.5682;N(d2)=N(-0.0153)=0.4939N(-d1)=N(-0.1718)=0.4318;N(-d2)=N(-0.0153)==0.5061期权定价计算器——投教网站我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输入投教网站的计算器中，可以得出几乎相同的结果。期权定价计算器——客户端我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输入客户端的计算器中，也可以得出十分近似的结果。期权定价计算器——上证期权APPBS模型的不足之处•对股价分布的假设。Merton，Cox，Ross等指出，股价的变动不仅包括连续情形，还包括由于重大时间引起的突跃情形，因此还需加上跳跃项。•事实上，随着股价上升，波动率一般会下降，并非独立于股价水平，恒定波动率的假设不符合现实。目前，如Heston等模型都在扩展恒定波动率假设的问题。•BS模型假设借贷资金成本相等，且不存在交易成本，不需缴纳保证金，这些与现实差距较大。BS模型的检验与作用•1977年，美国学着Galai利用CBOE上市的股票期权数据，首次对B-S模型进行了检验。此后，有