2019届南师附中-天一中学-海门中学-淮阴中学高三下学期期初四校联考-数学试题-附加题-含答案

数学Ⅱ（附加题）第1页（共4页）2019届期初数学学科调研测试试卷数学II（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m∈R，矩阵A＝－11m0的一个特征值为－2．（1）求实数m；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．B．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是曲线E:{x＝cosθ，y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以C为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求线段PC长的最大值．C．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学Ⅱ（附加题）第2页（共4页）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，过点P(m，0)(m≠0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设PA→＝λQA→，PB→＝μQB→(λ，μ∈R)．（1）当Q为抛物线C的焦点时，直线l的方程为y＝13x＋1，求抛物线C的标准方程；（2）求证：λ＋μ为定值．23．（本小题满分10分）设集合M＝{1，2，3，…，m}，集合A，B是M的两个不同子集，记|A∩B|表示集合A∩B的元素个数．若|A∩B|＝n，其中1≤n≤m－1，则称(A,B)是M的一组n阶关联子集对(（A，B）与（B，A）看作同一组关联子集对)，并记集合M的所有n阶关联子集对的组数为an．（1）当m＝3时，求a1，a2；（2）当m＝2019时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．（第22题）数学Ⅱ（附加题）第3页（共4页）江苏省海门中学2019年期初数学学科调研测试试卷数学II（附加题）参考答案21．【选做题】21．A．解析：（1）11()=(+1)fmm因为2是一个特征值，所以(2)0f所以2m．……………………………5分（2）由（1）得：1120A所以11det()2020A所以逆矩阵101102222111222A………………10分B．解：由2cos得：22cos∴2220xyx，即22(1)1xy………………3分∴(1,0)C设点(cos,22cos)P，∴22||(cos1)(22cos)PC25cos6cos5∴当cos1时，PC有最大值4.………………10分C．证明：因为x＞0，所以x3＋2＝x3＋1＋1≥33x3×1×1＝3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．……………4分因为y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y，当且仅当y＝1时取“＝”．……………8分所以(x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y，即x3＋y2＋3≥3x＋2y，当且仅当x＝y＝1时，取“＝”．……………10分数学Ⅱ（附加题）第4页（共4页）【必做题】22．解：（1）∵直线l的方程为113yx令0x，则1y，即(0,1)Q∴12p得：2p∴抛物线C的标准方程为24xy……………………………4分（2）设1122(,),(,)AxyBxy由,(,)PAQAPBQBR得：1122xmxxmx所以1122xmxxmx所以12121212122()xmxmxxmxxxxxx由题意，直线AB的斜率存在，设直线:()ABykxm22(0)()xpypykxm得：2220xpkxpkm所以1212022xxpkxxpkm故1212122()4212xxmxxpkmpkmxxpkm即为定值为1.……………………………10分23．解：（1）123412,3aa；……………………………2分（2）①020191201820192018120190201920192019201920192019(21)2...2...222nnkknnnnnnnnnnCCCCCaC20192019312nnC……………………………6分数学Ⅱ（附加题）第5页（共4页）②2018120182019120192019201931(2019)(31)2131(1)(31)2nnnnnnnnCananC，化简，得2018(10082)31009nnn，当503n，成立；当5041008n时，不成立；当1009n时，不成立；即123503504...aaaaa．5045055062018...aaaa当n≤503，成立；当504≤n≤1008时，不成立；当n≥1009时，不成立；即a1＜a2＜a3＜…＜a503＜a504＞a505＞…＞a2018，即1515504max504201931()2naaC．……………………………10分