行列式的计算方法毕业论文

1行列式的计算方法摘要行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不止如此，在许多方面都有广泛的应用。本文，我们学习行列式的定义、性质，化为“三角形”行列式，利用行列式的性质，使行列式化简或化为“三角形”行列式计算。利用拉普拉斯展开定理，按某一行(列)或某几行(列)展开，使行列式降级，利用范德蒙行列式的计算公式，利用递推关系等，在计算行列式中最常用的是利用行列式的性质，和按某行(列)展开行列式，而某些方法是针对于某些特殊类型的行列代而言，对一般的n级行列式的计算，往往要利用行列式的性质和拉普拉斯展开定理，导出一个递推公式，化为2级或3级行列式，以及化为“三角形”行列式来计算。关键词计算方法线性方程组行列式引言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位。因此这个问题是读者所熟悉的。譬如说，如果我们知道了一段导线的电阴r，它的两端的电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式vir，求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。而n元一次方程组，即线性方程组的理论，在数学中是基本的也是重要的内容。在中学代数课中学过，对于二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa2当二级行列式022211211aaaa时，该方程组有唯一解，即222112112221211aaaaababx，222112112211112aaaababax，对于三元线性方程组有相仿的结论。为了把此结果推广到n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的情形。我们首先要掌握n级行列式的相关知识。［定义］n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211等于取自不同行不同列的n个元素的乘积njnjjaaa2211的代数和，这里njjj21是n2,1的一个排列，每一项njnjjaaa2211安下列规则带有符号，当njjj21是偶排列时，则该项带正号，当njjj21是奇排列时，则该项带负号。这一定义可以写成)(2211)(2122221112112121)1(nnjjjnjnjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa这里njjj21表示对所有n级排列求和。一基本理论（一）n级行列式的性质：3性质1：行列互换，行列式不变。即：nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211性质2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行列式nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa212111211212111221221111211性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。0211212111211211212111211nnniniiiniinnnniniiiniinaaaaaaaaaaaakaaakakakaaaaaaa4性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。（二）基本理论1．0,0,2211jiDAaAaAajninjiji其中ijA为元素ija代数余式。2．降阶定理BCADADCBA13．CACOBA4．BAAB5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。（三）几种特殊行列式的结果1．三角行列式nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000(上三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000(下三角行列式)2．对角行列式nnnnaaaaaa221122110000003．对称与反对称行列式5nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211满足)2,1,2,1(njniaajiij，D称为对称行列式0000321332312232111312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD满足)2,1,(njiaajiij，D称为反对称行列式。若阶数n为奇数时，则D=04．)(1111111312112232221321jinijnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD二行列式的计算（一）定义法例：计算行列式00000000053524342353433323125242322211312aaaaaaaaaaaaaaaaD解：由行列式定义知nnjjnnjjjjajajaD1212211),,,()1(，且0151411aaa，所以D的非零项j，只能取2或3，同理由05514454441aaaaa，因而54jj只能取2或3，又因51jj要求各不相同，故jjjaaa521项中至少有一个必须取零，所以D=0。（二）化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素6为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它或为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例：计算行列式abbbbabbbbabbbbaDn解：各行加到第一行中去abbbbabbbbabbnaabbbabbnabnabnaDn1111)1()1()1()1(1)()1(0000000001)1(nbabnababbabbabbna例：计算行列式12212154314321321nnnnnnD解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行71111011110111101322)1(1111111111111111321nnnnnnnnnnn将所有列加到第一列上nnnnnnnnnnn0000001112)1(11111111112)1(）倍加各行上第一行的（nnnnnnnnn11)1(2)1(001112)1(12)1(2)1()1(nnnnn（三）递推法例：计算行列式10000010001000nD解：按第一行展开得：21)(nnnDDD)(211nnnnaDDDD…(1)按递推关系)(1221DDDDnnn1D222D…(2)由(1)式又可推导出：)(211nnnnDDDD，按逆推关系得nnnDD1…(3)8由(2)(3)解得11nnnD例：计算nnnnndcdcbabaD11112解：计算nnnnndcdcbabaD11112nnnnnnddcdcbabaa00001111111100)1(1111111112nnnnnnndcdcbababc)1(2)1(2)1(2)(nnnnnnnnnnnDbcdaDbcDda1112cbdaD9由遂推公式得)(12iiiininbcdaD例：n阶范德蒙(Vandermonde)行列就是采用遂推来求解。它利用初等变换把112112222121111nnnnnnnaaaaaaaaaD转化为递推关系式：111312)())((nnnDaaaaaaD从而得出)(1ijnjinaaD。（四）降阶法：将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下云去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。))()()()()()((111144442222dcbadcdbcbdacabadcbadcbadcba左边))(())(())((000122222222222222222244444442222222adadacacababadacabadacabadacabaadacabaadacaba))(())(())((111))()((222222addaacacbaabdaacabadacab)()()()(11))()()((2222dbabbdabcabbccbdadacab))()()()()()()((dcbadcdcdbcbdacaba例：计算行列式1000021212121aaaaaaaaaaaaDnnnnn，其中2n，01iia解：nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21222121211121222nnnaaaaaaaaa211212111110011112221122211100110012221121121nnnnnaaaaaaaaaaD11,221111)2(1)2(21212121)2(kjkjinnjjnkkiinaanainnaana（五）升阶法：此法多采用的形式为加边法。例：计算行列式uuIn2，其中In是单位阵，)(1nuuu为n维实列向量，且1uu解：将行列式uuIn2升为(n+1)阶行列式。21122212121212121220221202221022212unuuuuunuuuuunuuuuunuuuuInnn111112212121unuuuuun101010222212112nniiuuuuniiu12121(由niiu121)（六）分解之和法例：yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33解：左边bzaybyaxxbyaxazbxzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa按第一列分开bzayyxbyaxxzbxaz