人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-正弦函数、余弦函数的图象-基础

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。2．几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[内的图象，再通过平移得到xysin和cosyx的图象。3．五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。在确定正弦函数xysin在]2,0[上的图象形状时，起关键作用的五个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。（2）若xR，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[上的图象，然后通过左、右平移可得到xysin和cosyx的图象。（3）由诱导公式cossin()2yxx，故cosyx的图象也可以将xysin的图象上所有点向左平移2个单位长度得到。要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数sin()yxxR和余弦函数cos()yxxR的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。（2）图象精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如0,2x，方程lgsinxx根的个数。要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。sinsin()sin()yxyxyAx【典型例题】类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1．用五点法作出下列函数的图象。（1）2sinyx，[0,2]x；（2）cos6yx，11,66x。【思路点拨】（1）取[0,2]上五个关键的点（0，2）、（2，1）、(,2)、3(,3)2、（2，2）。（2）取11,66上五个关键的点。【解析】（1）找出五点，列表如下：x02322sinux010－10y=2－u21232描点作图（如下图）。精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）找出五点，列表如下：6ux02322x635643116y=cosu10－101描点作图（如下图）。【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。举一反三：【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：（1）y=－sinx（0≤x≤2π）；（2）y=1+cosx（0≤x≤2π）【解析】（1）列表：x02322sinx010－10－sinx0－1010描点作图，如图（1）：（2）列表：x02322cosx10－1011+cosx21012描点作图，如图（2）。类型二：利用图象变换作出函数的图象精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用例2．作函数21cosyx的图象；【思路点拨】要善于利用函数()yfx的图象来作|()|yfx及(||)yfx的图象。【解析】将21cosyx化为|sin|yx，其图象如下图。【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数()fx的图象与()fx的图象关于y轴对称，()fx与()fx的图象关于x轴对称，()fx和图象与()fx的图象关于原点对称，(||)fx的图象关于y轴对称。举一反三：【变式1】（2016福建台江区月考）已知函数11cos|cos|22yxx，画出函数的简图．【解析】cos,[2,2]()1122cos|cos|3220,[2,2]()22xxkkkZyxxxkkkZ，作出简图如下：类型三：利用函数图象解简单的三角不等式例3．画出正弦函数sinyx（x∈R）的简图，并根据图象写出：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（1）12y时x的集合；（2）1322y时x的集合。【思路点拨】用“五点法”作出y=sinx的简图。【解析】（1）过10,2点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于1,62、51,62两点，在[0，2π]区间内，12y时x的集合为566xx。当x∈R时，若12y，则x的集合为522,66xkxkkZ。（2）过10,2、30,2两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于71,62，111,62点和3,32，23,32点，那么当1322y时，x的集合为2722,22,6336xkxkkZxkxkkZ或2711722,22,3663xkxkkZxkxkkZ。【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。举一反三：【变式1】（2015春四川资阳月考）利用正弦函数图象解下列不等式：（1）1sin2x；（2）1sin2x（3）3sin()62x；（4）3sin()62x．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【解析】作出函数y=sinx的图象，如图所示：由图可得：（1）1sin2x时，5[2,2]66xkk，k∈Z，即原不等式的解集为5[2,2]66kk，k∈Z；（2）1sin2x时，513[2,2]66xkk，k∈Z，即原不等式的解集为513[2,2]66kk，k∈Z；（3）3sin()62x时，2[2,2]633xkk，k∈Z，即[2,2]62xkk，k∈Z，即原不等式的解集为[2,2]62kk，k∈Z；（4）3sin()62x时，27[2,2]633xkk，k∈Z，即13[2,2]26xkk，k∈Z，即原不等式的解集为13[2,2]26kk，k∈Z．类型四：三角函数图象的应用例4．（1）（2015春陕西宝塔区月考）求1sinxx在区间[－π，π]内解的个数．（2）若02x，则2x与3sinx的大小关系为（）A．23sinxxB．23sinxxC．23sinxxD．与x的取值有关【思路点拨】（1）作出函数y=sinx与1yx的函数图象，观察图象交点个数．（2）作出2yx与3sinyx的函数图象，利用数形结合可得．【答案】（1）4；（2）D【解析】（1）函数y=sinx与1yx的图象交点个数等于方程解的个数．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用在同一坐标系内作出两个函数y=sinx，1yx在[－π，π]内的图象，如图所示．由图象不难看出，它们有4个交点．所以方程1sinxx在[－π，π]内有4个解．（2）作图（如下图），观察函数12yx，23sinyx在0,2内的图象可知2x与3sinx的大小关系与x的取值有关．举一反三：正、余弦函数的图象394835例3【变式1】下列各式中正确的为()A.54sinsin77B.sin()sin()56C.15coscos()87D.39cos()cos()54【答案】C